Čtvrtek 26. května 2022, svátek má Filip
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Čtvrtek 26. května 2022 Filip

Nekonečné množství devítek vám zamotalo hlavu. Opravdu je to přesně 1?

Žádná celá devět periodických se rovná jedné. Středoškolská poučka je pro mnoho lidí stále matoucí. Podívejme se na ni tedy podrobněji. Oslovili jsme matematiky, kteří nám vysvětlili, jak se věci mají. Je to zároveň připomínka toho, jak funguje diskuze a dokazování v exaktním oboru, jakým matematika je.

Žádná celá devět periodických se rovná jedné. Je ale důležité definovat si pojmy | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Obvykle se nesnažíme mluvit do řemesla učitelům středních škol. Matematický koncept, kterého se ve svém popularizačním článku dotkl fyzik Vojtěch Pleskot, ale odhalil, že není tak evidentní, jak se zdá.

Jde o zdánlivě jednoduchou rovnost:

0,999... je rovno jedné

Vodorovná čárka nad devítkou znamená, že číslo obsahuje nekonečné množství opakujících se devítek. A právě to nekonečno zřejmě opět (podobně jako u rulety) zabránilo řadě lidí konceptu porozumět, a tak jej akceptovat.

„Nula celá devět periodických se k jedničce blíží zleva, ale je nepatrně menší než jednička. Tedy není to to samé jako 1.“ Tak by se dal shrnout omyl, který v různých variantách zazněl v extrémně živé diskuzi pod článkem.

Když už jsme se tedy pustili do vysvětlování matematického konceptu, využijeme tuto příležitost a ukážeme si, jakým způsobem matematik jinému matematikovi dokazuje, že má pravdu. Narozdíl od politiky nebo umění totiž matematický důkaz klade důraz na přesné definice pojmů a dodržování logických pravidel v každém kroku důkazu. Dlužno dodat, že podobná exaktnost by občas prospěla i jiným debatám.

Definice pojmů, bez toho se není o čem bavit

Nebudeme zde vypisovat všechny axiomy, jen ty, které dělaly v diskuzi problém. Ale je důležité podotknout, že v exaktní vědě, jakou matematika je, se musí vždy definovat, o čem se bavíme.

Některé definice reálných čísel přímo zmiňují, že u nekonečných desetinných rozvojů „nepřipouštíme periodu 9 a připouštíme periodu 0“, což znamená, že 0,99999... je to samé, jako 1,00000...

V tomto případě je nutné definovat, v jakém oboru čísel se pohybujeme. Jde o reálná čísla, tedy taková, která jdou zakreslit na osu jako bod a vyjadřují vzdálenost tohoto bodu od nulového bodu.

Protože mluvíme o nekonečném množství devítek, musíme říci, co tím myslíme. Zjednodušeně říkáme, že v čísle 0,999... je každé další číslo desetinného rozvoje devítka, tedy nenajdeme nikdy poslední devítku.

A rovností v tomto případě myslíme matematický vztah, který říká, že oba zápisy čísla 0,999... a 1 označují stejný bod na oné nekonečné přímce reálných čísel. Podobně třeba dvacet pětin a osm polovin označují stejný bod a lze mezi ně tedy dát rovnítko.

Skutečný matematický důkaz

Pokud je pro vás tento důkaz příliš složitý, nezoufejte, máme i zjednodušené ilustrace

Když jsme se profesorů z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy zeptali, co říkají diskuzi o rovnosti 0,999... = 1, v prvé řadě obvykle ve svých odpovědích zdůrazňovali právě to, že je nutné definovat, co ten zápis znamená. Matematicky jde o součet nekonečné řady: nula + devět desetin + devět setin + devět tisícin + devět desetitisícin... Součet této řady můžeme spočítat jako limitu částečných součtů:

Důkaz rovnosti 0,999... = 1 pomocí součtu nekonečné geometrické řady

V diskuzi pod článkem se objevovaly názory, které pletly základní formulace, typu „0,999... se limitně blíží jedné, ale nerovná se jedné“. „To ovšem nedává smysl,“ vysvětluje matematik Václav Kučera. „0,999... je jedno číslo a jedno číslo se nikam neblíží, lidově řečeno sedí na místě a buď se jedné rovná nebo ne.“

Ilustrace pro ty, co stále pochybují

Součet nekonečné řady je matematický způsob, jak rovnost dokázat. Pro běžného člověka, který limity po maturitě odložil na mozkové smetiště, je to ale důkaz spíše nesrozumitelný. Pro takové jsou zde další důkazy (přesněji řečeno ilustrace), které rovnost ukazují názorněji.

Ten asi nejznámější vychází z ekvivalentních úprav rovnice. Ve druhém kroku vynásobíme obě strany rovnice deseti. Ve třetím kroku odečteme od obou stran rovnice x. Zde je „jádro pudla“, protože 9,999... periodických obsahuje stále nekonečno devítek za desetinnou čárkou, proto můžeme číslo odečíst.

Ilustrace rovnosti pomocí ekvivalentních úprav rovnice

Jako ilustrace je často uváděn zlomek jedna třetina (1/3). Ten, zapsaný jako desetinné číslo, dává hodnotu 0,333... a při ručním dělení je zcela evidentní, že trojek je zde nekonečně mnoho. Mohli bychom tedy říci, že jedna třetina jsou tři devítiny a vynásobit třetinu třemi. Nebo vynásobit devítinu devíti:

Ilustrace rovnosti pomocí převodu zlomků na čísla

Další oblíbený postup nám popsal matematik Jiří Dvořák. Ukazuje, že 0,9 periodických se skutečně rovná jedné, a to tak, že prokáže, že by jinak došlo k rozporu:

Důkaz sporem: kdyby existovalo číslo mezi 0,999... a 1, tak by jeho desetinný zápis vypadal přesně stejně, jako 0,999..., a tedy takové číslo nemůže existovat.

„Pokud by 1 a x=0,999... byla dvě různá reálná čísla, muselo by mezi nimi ležet nějaké jiné reálné číslo, dokonce mnoho takových. Jak by takové číslo vypadalo? Respektive jak by vypadal jeho desetinný zápis? Určitě bude začínat nula celá..., protože hledané číslo musí být menší než 1. Pak můžou následovat nějaké devítky, ale nejméně na jednom desetinném místě musí být něco jiného než devítka (jinak bychom dostali číslo x). Na tomto místě tedy bude nějaká číslice mezi 0 a 8 a tedy takové číslo je ostře menší než x. Což je spor a ukázali jsme, že mezi čísly x a 1 neleží žádné jiné reálné číslo. Platí tedy x = 1.“

Několik matematiků také doporučilo zájemcům podívat se na anglickou Wikipedii, kde je uvedena celá řada důkazů a ilustrací, včetně důkazů geometrických, číselných a analytických.

Proč je těžké tento fakt přijmout?

Nejčastějším problémem, který mají studenti (a internetoví diskutéři) s tvrzením, že 0,999... je rovno jedné, je zřejmě představa, že zápis čísel by měl být unikátní. „Jednička je číslo, které nabízí jistotu a bezpečí, je jasné a pochopitelné,“ píše matematik Bryan Bunch. „Proto je obzvláště zneklidňující, když někdo řekne, že nula celá a nekonečno devítek se rovná jedničce.“

Lidé odmítají přijmout rovnost 0,999... = 1, protože to vypadá jako nepřesné zaokrouhlování.

Dalším omylem je představa, že těch devítek je v desetinném rozvoji opravdu hodně, ale není jich nekonečno. Pak může taková rovnost 0,999... = 1 působit spíše jako zaokrouhlování. Ale nejde o „přibližně se rovná“, jde o skutečnou, exaktní rovnost, což pro někoho není intuitivně přijatelné.

Pokročilejší studenti matematiky zase mohou mít pocit, že jde o nějakou funkci, která se „přibližuje k limitě, ale nikdy jí nedosáhne“. To je ale také omyl (který jsme již zmínili na začátku článku). Jedná se o číslo, nikoli o funkci. Nikam se neblíží, ale „sedí na ose“. Není „blízko jedničce“, ale je to jednička.

Slovinský matematik Marko Petkovšek v článku Ambiguous numbers are dense dokázal, že každá poziční číselná soustava buď obsahuje čísla s více reprezentanty (a takových případů bude "velmi mnoho"), anebo nepopisuje všechna reálná čísla.

A další mohou mít problém už jenom s tím, že jedno číslo má více způsobů, jak jej zapsat. Nějak jim to nejde dohromady s představou matematiky jakožto zcela exaktního oboru. K tomu se rovněž vyjádřil doktor Kučera:

„Formálně jsou reálná čísla abstraktním matematickým objektem, definovaným jistou sadou axiomů. Abychom si je dokázali lépe představit a zacházet s nimi, vymyslelo lidstvo desetinný poziční systém, pomocí kterého se reálná čísla dají snadno reprezentovat a manipulovat s nimi (sčítat, odčítat atd.). Ovšem tato reprezentace má jednu vadu na kráse, a sice, že některá čísla mají dva různé reprezentanty, například číslo 1 se dá zapsat i jako 0,999..., což jsme dokázali výše.

Nejen matematické „záhady“

Projekt Science To Go! sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice. Díky tomuto projektu si můžete na Technetu přečíst články o matematických „záhadách“ jako například ten o sázení v ruletě nebo předchozí díl tohoto miniseriálu.

Stejnými úvahami jako nahoře lze vidět, že například 15,736 se dá zapsat také jako 15,735999... Obecně to platí pro každé nenulové číslo, které má konečný počet nenulových cifer. To není nijak zásadní problém, prostě pro číslo 1 máme dvě nálepky. Ostatně v českém jazyce také máme pro toto číslo víc nálepek: jedna, jednička, 1. To nic nemění na tom, že pořád popisuji jednu a tu samou věc.“

Podle matematika Petra Knoblocha lze rovněž říci, že „symbol 0,999... je totéž jako jedna, ale tento symbol nepatří do množiny reálných čísel.“ Vychází z definice reálných čísel, které u nekonečných desetinných rozvojů nepřipouští periodu 9. To ovšem neznamená, že to číslo neexistuje, pouze že takový zápis není vhodný. Když se podíváme na to, jaké emoce vyvolává, zjistíme proč.

„To, že 0,999... = 1, je prakticky pro každého zpočátku matoucí,“ uznává Kučera. „Nicméně matematika je plná kontraintuitivních výsledků. Proto je v tomto oboru důležité držet se toho, co lze jasně a bezchybně dokázat. Selský rozum má své meze a občas nám radí špatně.“

„Žádná celá devět periodických se rovná jedné“ je podle vás...

celkem hlasů: 4784

Hlasování skončilo

Čtenáři hlasovali do 0:00 neděle 3. července 2016. Anketa je uzavřena.

matematická zajímavost 2365
triviální poučka 750
kouzlo! 621
něco, co nejde pochopit, ale jde to dokázat 393
nepravda 347
zbytečnost, kterou se nehodlám zabývat 308
Autor:

80 let od atentátu na Heydricha

27. 5. 1942 provedli českoslovenští parašutisté atentát na zastupujícího říšského protektora na území Čech a Moravy Reinharda Heydricha.

  • Nejčtenější

Češi posílají na pomoc Ukrajině „ďáblův kočár“

Po pondělním zasedání Kontaktní skupiny pro Ukrajinu zazněla na tiskové konferenci několikrát informace, kterou...

V Charkově se skrývá tajemný supertank, příliš drahý pro sériovou výrobu

Válka na Ukrajině vstupuje do nové fáze. Rusové se po Kyjevu stahují i z okolí Charkova a chystají se zřejmě soustředit...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Ukrajinci dostali západní superhoufnice M777. Do akce šla i Bohdana

Ať už si dělostřelectvo v dávných dobách vysloužilo titul královny či krále bojiště, ukazuje se i v jednadvacátém...

České tanky pro Ukrajinu bojují u Mykolajivu. Máme fotky z fronty

Exkluzivně Česká republika před několika týdny začala na východ posílat ruční zbraně a munici a později i dělostřelectvo, tanky a...

Konec přetáčení reklam. Na televizi Prima je musíte přetrpět, nebo zaplatit

Od prvního června nebude možné přetáčet reklamy stanic TV Prima při odloženém zhlédnutí pořadů v IPTV a OTT službách....

V předdůchodu si odpočinu a pak se uvidí. Možnost, o které se moc neví

Premium Má do penze pět let a je v předdůchodu na tři roky. Na víc totiž nemá naspořeno. Že to nejde? Ale ano. Legislativa to...

Mami, ty se uzdravíš! Jana Vránová o synově cestě do NHL i boji s rakovinou

Premium Před sedmi lety si prožila peklo. Bojovala s rakovinou lymfatických uzlin a nevěděla, jak to synovi, hrajícímu tehdy...

Půst, občas večeře, čtyři kávy denně. Jak jíst podle výživového poradce Havlíčka

Premium Strava ovlivňuje nejen naši váhu či kondici, ale i náladu a zdravotní stav. Ostatně až dvě třetiny všech nemocí mají...

  • Další z rubriky

Češka vyvinula přelomový lék proti rakovině prostaty. Popsala, jak funguje

Vysíláme Česká vědkyně Martina Benešová spolu se svým německým týmem vyvinula nový lék pro diagnostiku a léčbu rakoviny...

Posledních osm procent lidského genomu bylo konečně rozluštěno

V roce 2003 vědci oznámili, že byl nahrubo přečten lidský genom. To znamenalo, že bylo rozluštěno 92 procent lidského...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Srpodrápý zabiják z Kanady byl silnější než velociraptor

Právě před sto lety byl vědeckému i laickému světu představen pozoruhodný masožravý dinosaurus z kanadské Alberty....

Archeolog: Evropa byla globální už v době bronzové, mléko trávili první Britové

Rozstřel Svět byl v minulosti mnohem propojenější, než jsme si mysleli. Už před třemi tisíci lety, tedy dávno před Římskou říší,...

Hledáme 50 testerek: Vyzkoušejte s námi českou kosmetiku Linteo Baby
Hledáme 50 testerek: Vyzkoušejte s námi českou kosmetiku Linteo Baby

Hledáme 50 maminek, které se svými děťátky vyzkouší přírodní dětskou kosmetiku a vlhčené ubrousky Linteo Baby. Šance testovat je vysoká, stačí se...

Muž s penisem na předloktí. Pěstoval si ho šest let pro transplantaci

Je to vlastně příběh protkaný smutkem, groteskní fyzickou modifikací, ale se šťastným koncem. A též s mnoha otázkami....

Část dětí dostane 5 000 Kč automaticky, zbytek bude žádat elektronicky

Rodiče, kteří na své potomky pobírají příspěvek na dítě, dostanou státní pětitisícovou pomoc automaticky. Ostatní budou...

Češi posílají na pomoc Ukrajině „ďáblův kočár“

Po pondělním zasedání Kontaktní skupiny pro Ukrajinu zazněla na tiskové konferenci několikrát informace, kterou...

V Charkově se skrývá tajemný supertank, příliš drahý pro sériovou výrobu

Válka na Ukrajině vstupuje do nové fáze. Rusové se po Kyjevu stahují i z okolí Charkova a chystají se zřejmě soustředit...

Ukrajinci dostali západní superhoufnice M777. Do akce šla i Bohdana

Ať už si dělostřelectvo v dávných dobách vysloužilo titul královny či krále bojiště, ukazuje se i v jednadvacátém...