Premium

Získejte všechny články mimořádně
jen za 49 Kč/3 měsíce

Nekonečné množství devítek vám zamotalo hlavu. Opravdu je to přesně 1?

Žádná celá devět periodických se rovná jedné. Středoškolská poučka je pro mnoho lidí stále matoucí. Podívejme se na ni tedy podrobněji. Oslovili jsme matematiky, kteří nám vysvětlili, jak se věci mají. Je to zároveň připomínka toho, jak funguje diskuze a dokazování v exaktním oboru, jakým matematika je.
Žádná celá devět periodických se rovná jedné. Je ale důležité definovat si pojmy

Žádná celá devět periodických se rovná jedné. Je ale důležité definovat si pojmy | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Obvykle se nesnažíme mluvit do řemesla učitelům středních škol. Matematický koncept, kterého se ve svém popularizačním článku dotkl fyzik Vojtěch Pleskot, ale odhalil, že není tak evidentní, jak se zdá.

Jde o zdánlivě jednoduchou rovnost:

0,999... je rovno jedné

Vodorovná čárka nad devítkou znamená, že číslo obsahuje nekonečné množství opakujících se devítek. A právě to nekonečno zřejmě opět (podobně jako u rulety) zabránilo řadě lidí konceptu porozumět, a tak jej akceptovat.

„Nula celá devět periodických se k jedničce blíží zleva, ale je nepatrně menší než jednička. Tedy není to to samé jako 1.“ Tak by se dal shrnout omyl, který v různých variantách zazněl v extrémně živé diskuzi pod článkem.

Když už jsme se tedy pustili do vysvětlování matematického konceptu, využijeme tuto příležitost a ukážeme si, jakým způsobem matematik jinému matematikovi dokazuje, že má pravdu. Narozdíl od politiky nebo umění totiž matematický důkaz klade důraz na přesné definice pojmů a dodržování logických pravidel v každém kroku důkazu. Dlužno dodat, že podobná exaktnost by občas prospěla i jiným debatám.

Definice pojmů, bez toho se není o čem bavit

Nebudeme zde vypisovat všechny axiomy, jen ty, které dělaly v diskuzi problém. Ale je důležité podotknout, že v exaktní vědě, jakou matematika je, se musí vždy definovat, o čem se bavíme.

Některé definice reálných čísel přímo zmiňují, že u nekonečných desetinných rozvojů „nepřipouštíme periodu 9 a připouštíme periodu 0“, což znamená, že 0,99999... je to samé, jako 1,00000...

V tomto případě je nutné definovat, v jakém oboru čísel se pohybujeme. Jde o reálná čísla, tedy taková, která jdou zakreslit na osu jako bod a vyjadřují vzdálenost tohoto bodu od nulového bodu.

Protože mluvíme o nekonečném množství devítek, musíme říci, co tím myslíme. Zjednodušeně říkáme, že v čísle 0,999... je každé další číslo desetinného rozvoje devítka, tedy nenajdeme nikdy poslední devítku.

A rovností v tomto případě myslíme matematický vztah, který říká, že oba zápisy čísla 0,999... a 1 označují stejný bod na oné nekonečné přímce reálných čísel. Podobně třeba dvacet pětin a osm polovin označují stejný bod a lze mezi ně tedy dát rovnítko.

Skutečný matematický důkaz

Pokud je pro vás tento důkaz příliš složitý, nezoufejte, máme i zjednodušené ilustrace

Když jsme se profesorů z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy zeptali, co říkají diskuzi o rovnosti 0,999... = 1, v prvé řadě obvykle ve svých odpovědích zdůrazňovali právě to, že je nutné definovat, co ten zápis znamená. Matematicky jde o součet nekonečné řady: nula + devět desetin + devět setin + devět tisícin + devět desetitisícin... Součet této řady můžeme spočítat jako limitu částečných součtů:

Důkaz rovnosti 0,999... = 1 pomocí součtu nekonečné geometrické řady

V diskuzi pod článkem se objevovaly názory, které pletly základní formulace, typu „0,999... se limitně blíží jedné, ale nerovná se jedné“. „To ovšem nedává smysl,“ vysvětluje matematik Václav Kučera. „0,999... je jedno číslo a jedno číslo se nikam neblíží, lidově řečeno sedí na místě a buď se jedné rovná nebo ne.“

Ilustrace pro ty, co stále pochybují

Součet nekonečné řady je matematický způsob, jak rovnost dokázat. Pro běžného člověka, který limity po maturitě odložil na mozkové smetiště, je to ale důkaz spíše nesrozumitelný. Pro takové jsou zde další důkazy (přesněji řečeno ilustrace), které rovnost ukazují názorněji.

Ten asi nejznámější vychází z ekvivalentních úprav rovnice. Ve druhém kroku vynásobíme obě strany rovnice deseti. Ve třetím kroku odečteme od obou stran rovnice x. Zde je „jádro pudla“, protože 9,999... periodických obsahuje stále nekonečno devítek za desetinnou čárkou, proto můžeme číslo odečíst.

Ilustrace rovnosti pomocí ekvivalentních úprav rovnice

Jako ilustrace je často uváděn zlomek jedna třetina (1/3). Ten, zapsaný jako desetinné číslo, dává hodnotu 0,333... a při ručním dělení je zcela evidentní, že trojek je zde nekonečně mnoho. Mohli bychom tedy říci, že jedna třetina jsou tři devítiny a vynásobit třetinu třemi. Nebo vynásobit devítinu devíti:

Ilustrace rovnosti pomocí převodu zlomků na čísla

Další oblíbený postup nám popsal matematik Jiří Dvořák. Ukazuje, že 0,9 periodických se skutečně rovná jedné, a to tak, že prokáže, že by jinak došlo k rozporu:

Důkaz sporem: kdyby existovalo číslo mezi 0,999... a 1, tak by jeho desetinný zápis vypadal přesně stejně, jako 0,999..., a tedy takové číslo nemůže existovat.

„Pokud by 1 a x=0,999... byla dvě různá reálná čísla, muselo by mezi nimi ležet nějaké jiné reálné číslo, dokonce mnoho takových. Jak by takové číslo vypadalo? Respektive jak by vypadal jeho desetinný zápis? Určitě bude začínat nula celá..., protože hledané číslo musí být menší než 1. Pak můžou následovat nějaké devítky, ale nejméně na jednom desetinném místě musí být něco jiného než devítka (jinak bychom dostali číslo x). Na tomto místě tedy bude nějaká číslice mezi 0 a 8 a tedy takové číslo je ostře menší než x. Což je spor a ukázali jsme, že mezi čísly x a 1 neleží žádné jiné reálné číslo. Platí tedy x = 1.“

Několik matematiků také doporučilo zájemcům podívat se na anglickou Wikipedii, kde je uvedena celá řada důkazů a ilustrací, včetně důkazů geometrických, číselných a analytických.

Proč je těžké tento fakt přijmout?

Nejčastějším problémem, který mají studenti (a internetoví diskutéři) s tvrzením, že 0,999... je rovno jedné, je zřejmě představa, že zápis čísel by měl být unikátní. „Jednička je číslo, které nabízí jistotu a bezpečí, je jasné a pochopitelné,“ píše matematik Bryan Bunch. „Proto je obzvláště zneklidňující, když někdo řekne, že nula celá a nekonečno devítek se rovná jedničce.“

Lidé odmítají přijmout rovnost 0,999... = 1, protože to vypadá jako nepřesné zaokrouhlování.

Dalším omylem je představa, že těch devítek je v desetinném rozvoji opravdu hodně, ale není jich nekonečno. Pak může taková rovnost 0,999... = 1 působit spíše jako zaokrouhlování. Ale nejde o „přibližně se rovná“, jde o skutečnou, exaktní rovnost, což pro někoho není intuitivně přijatelné.

Pokročilejší studenti matematiky zase mohou mít pocit, že jde o nějakou funkci, která se „přibližuje k limitě, ale nikdy jí nedosáhne“. To je ale také omyl (který jsme již zmínili na začátku článku). Jedná se o číslo, nikoli o funkci. Nikam se neblíží, ale „sedí na ose“. Není „blízko jedničce“, ale je to jednička.

Slovinský matematik Marko Petkovšek v článku Ambiguous numbers are dense dokázal, že každá poziční číselná soustava buď obsahuje čísla s více reprezentanty (a takových případů bude "velmi mnoho"), anebo nepopisuje všechna reálná čísla.

A další mohou mít problém už jenom s tím, že jedno číslo má více způsobů, jak jej zapsat. Nějak jim to nejde dohromady s představou matematiky jakožto zcela exaktního oboru. K tomu se rovněž vyjádřil doktor Kučera:

„Formálně jsou reálná čísla abstraktním matematickým objektem, definovaným jistou sadou axiomů. Abychom si je dokázali lépe představit a zacházet s nimi, vymyslelo lidstvo desetinný poziční systém, pomocí kterého se reálná čísla dají snadno reprezentovat a manipulovat s nimi (sčítat, odčítat atd.). Ovšem tato reprezentace má jednu vadu na kráse, a sice, že některá čísla mají dva různé reprezentanty, například číslo 1 se dá zapsat i jako 0,999..., což jsme dokázali výše.

Nejen matematické „záhady“

Projekt Science To Go! sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice. Díky tomuto projektu si můžete na Technetu přečíst články o matematických „záhadách“ jako například ten o sázení v ruletě nebo předchozí díl tohoto miniseriálu.

Stejnými úvahami jako nahoře lze vidět, že například 15,736 se dá zapsat také jako 15,735999... Obecně to platí pro každé nenulové číslo, které má konečný počet nenulových cifer. To není nijak zásadní problém, prostě pro číslo 1 máme dvě nálepky. Ostatně v českém jazyce také máme pro toto číslo víc nálepek: jedna, jednička, 1. To nic nemění na tom, že pořád popisuji jednu a tu samou věc.“

Podle matematika Petra Knoblocha lze rovněž říci, že „symbol 0,999... je totéž jako jedna, ale tento symbol nepatří do množiny reálných čísel.“ Vychází z definice reálných čísel, které u nekonečných desetinných rozvojů nepřipouští periodu 9. To ovšem neznamená, že to číslo neexistuje, pouze že takový zápis není vhodný. Když se podíváme na to, jaké emoce vyvolává, zjistíme proč.

„To, že 0,999... = 1, je prakticky pro každého zpočátku matoucí,“ uznává Kučera. „Nicméně matematika je plná kontraintuitivních výsledků. Proto je v tomto oboru důležité držet se toho, co lze jasně a bezchybně dokázat. Selský rozum má své meze a občas nám radí špatně.“

„Žádná celá devět periodických se rovná jedné“ je podle vás...

celkem hlasů: 4784

Hlasování skončilo

Čtenáři hlasovali do 0:00 neděle 3. července 2016. Anketa je uzavřena.

matematická zajímavost
matematická zajímavost 2365
triviální poučka
triviální poučka 750
kouzlo!
kouzlo! 621
něco, co nejde pochopit, ale jde to dokázat
něco, co nejde pochopit, ale jde to dokázat 393
nepravda
nepravda 347
zbytečnost, kterou se nehodlám zabývat
zbytečnost, kterou se nehodlám zabývat 308
Autor:
  • Nejčtenější

Sověti neuměli zkonstruovat těžký tank. Pomohl jim až německý inženýr

v diskusi je 51 příspěvků

19. května 2024

Když je řeč o sovětských těžkých tancích, výčet zpravidla začíná pětivěžovým typem T-35. Jenže...

Pět věcí, které byste s Windows měli dělat, ale možná neděláte, a naopak

v diskusi je 11 příspěvků

15. května 2024

Možná prakticky ihned po instalaci, při prvním spuštění nového PC nebo později deaktivujete některé...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Nejzajímavější sluchátka na trhu? Novinka Sonosu je první svého druhu

v diskusi je 17 příspěvků

21. května 2024

Úderem patnácté hodiny skončilo embargo na první sluchátka společnosti Sonos, které po krátkém...

Panasonic překvapil, jeden opuštěný operační systém nahradily dva nové

v diskusi je 15 příspěvků

17. května 2024

Düsseldorf (Od zpravodaje Technet.cz) Když odhlédneme od kvality zobrazovacího panelu a obvodů zpracovávajících obraz, je operační systém...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Kennedy ho vybral jako prvního černocha. Do vesmíru letěl až teď, v 90 letech

v diskusi je 15 příspěvků

21. května 2024  7:42

Do vesmíru ho vybral jako prvního černošského adepta už prezident John Kennedy. Na svůj let ale...

Rusko vypustilo družici schopnou sledovat a ničit jiné satelity, míní Američané

v diskusi je 41 příspěvků

22. května 2024  8:30

Rusko 16. května vypustilo satelit, o němž se americké zpravodajské služby domnívají, že je to...

Vědci zkoumají, jaký šum nám nejvíce prospívá. Místo bílého nastupuje růžový

v diskusi nejsou příspěvky

22. května 2024

Premium S pojmem bílý šum se patrně setkala většina z nás. Někteří slyšeli i o dalších barvách šumu, o čemž...

Microsoft vám chce dát do kanceláře nového kolegu a sází na malé AI

v diskusi jsou 4 příspěvky

21. května 2024  23:42

Microsoft ukázal, jakou budoucnost generativní umělé inteligence si představuje. Vedle velkých...

Nejzajímavější sluchátka na trhu? Novinka Sonosu je první svého druhu

v diskusi je 17 příspěvků

21. května 2024

Úderem patnácté hodiny skončilo embargo na první sluchátka společnosti Sonos, které po krátkém...

Vyhrajte super-prémiové pokračovací mléko BEBA SUPREMEpro 2
Vyhrajte super-prémiové pokračovací mléko BEBA SUPREMEpro 2

Rádi byste vyzkoušeli nejdokonalejší recepturu pokračovacího kojeneckého mléka BEBA? Zapojte se do soutěže a vyhrajte hned 2 balení mléčné výživy...

Nejhorší noční můra, řekla žena, která v botě syna objevila cizí AirTag

Mého syna někdo sleduje. S takovým pocitem několik týdnů žila žena z Floridy poté, co na svůj iPhone začala dostávat...

Anální sex je výzva. Nejvíc tabu je však v Česku jiná praktika, říká průzkum

Erotické hračky nepředstavují podezřelou exotiku, v ložnicích jsou jako doma. Ostatně jako masturbace. I orální sex....

Svěrák se na mě nedíval jen jako na hezkou buchtu, říká Radka Pavlovčinová

Jan Svěrák ji vidí jako robotku. Radka Pavlovčinová v nové hře filmového a teď už i divadelního režiséra hraje umělou...

Klavírista Petr Malásek si zlomil obě ruce. Mohlo to dopadnout hůř, říká

Klavírista Petr Malásek (59) spadl z kola a zlomil si obě ruce. V pořadu 7 pádů Honzy Dědka popsal nehodu i jaká je...

Zásnubní šaty elegantní princezny. Spustily Kate efekt, návrhářku zničily

Seriál Když si jeho šaty oblékne některá z členek královské rodiny, obvykle to každý návrhář oslavuje jako životní úspěch....