Víte, kolik matematiků je potřeba na výměnu žárovky? 0,999...

aktualizováno 
I když se známému matematickému vtipu nezasmějete, vězte, že je pravdivý. Pro matematiky nula celá devět periodických je skutečně jednička. Proč tomu tak je a proč je vlastně takové podivné číslo někdy výhodné?

Proč je žádná celá devět periodických rovno jedné? (ilustrace) | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Možná se budete divit, ale 0,999... se rovná 1. Matematik by řekl, že 0,999... a 1 jsou dvě reprezentace (dvě různá označení) stejného reálného čísla. Nebuďme troškaři a toto tvrzení dokažme. Ani to nebude bolet. Cestou se seznámíme s tím, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že takový součet vůbec nemusí být nekonečno.

Číslo 0,999... je součet jedné geometrické řady. Za řadu se v matematice označuje posloupnost čísel, která sčítáme. Geometrická řada pak je taková, kde každé následující číslo je x-krát menší než číslo předchozí. Naše geometrická řada je neobyčejně jednoduchá: začíná číslem 0,9 a x=10, neboli každé číslo je desetkrát menší než to před ním. Číselně: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... a takhle stále dál až do zblbnutí (do nekonečna). Všechna čísla jsou kladná, a přece je na první pohled jasné, že součet nikdy nebude nekonečno. Součet prvních dvou je 0,99, prvních tří 0,999, prvních čtyř 0,9999 atd. Součet prvních sta čísel je nula celá a sto devítek.

S nekonečnem nepracujeme „přímo“, ale oklikou, v tomto případě pomocí tzv. limity

Teď přijde asi nejtěžší krok: matematická operace limita. Už jsme si řekli, jak vypadají součty prvních dvou, tří, čtyř, sta čísel. Čím více čísel vezmeme v úvahu, tím blíž je jejich součet jedničce. Klíčové je, že se jedničce můžeme přiblížit na libovolně malou vzdálenost – stačí jen vzít do úvahy dostatečně velké množství sčítanců. A tím je splněna definice limity! Jednoduché, ne? Takže naše řada má limitu, a tou je číslo jedna. Je naprosto přirozené, že za součet naší nekonečné řady označíme tuto limitu. Přesně takhle matematikové pojímají číslo 0,999... - jako limitu řady 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Řady jsou neobyčejně mocný nástroj, kterých je matematika plná. Většina lidí jistě zná Taylorovu řadu, o geometrické řadě jsme už mluvili. Kromě čísel se ovšem dají sčítat i funkce a ještě další matematické objekty. Pomocí řad funkcí jsou definované např. exponenciála, sinus a cosinus. U všech je důležité, že následující člen řady je o hodně menší než člen, který je před ním.

Nahraďte složité jednoduchým

Fyzikové milují řady a fyzika by bez řad nebyla vůbec myslitelná. Řady totiž velmi efektivně pomáhají zjednodušovat složité výpočty. Vtip je v tom, že složitou funkci můžeme často nahradit řadou funkcí jednoduchých a většinu z nich navíc zanedbat. Nezapomínejte, že vyšší členy řad jsou velmi malé!

O autorovi

Vojtěch Pleskot je zaměstnancem Johannes Gutenberg-Universitaet Mainz a pracuje na experimentu Atlas v Evropské organizaci pro jaderný výzkum CERN.

Je také jedním ze spoluzakladatelů a aktivních členů projektu Science To Go! Projekt sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice.

Zanedbání, které provádíme, musíme mít ovšem pevně pod kontrolou - musí být tak malé, aby bylo menší než přesnost, se kterou jsme schopni náš výpočet experimentálně ověřit. Tak například při pohybu v těsné blízkosti povrchu Země obvykle považujeme gravitační sílu za všude stejnou (velikost i směr), přestože “správně” velikost gravitační síly se vzdáleností od Země klesá a tato síla směřuje vždy do středu Země. Toto zanedbání je výtečně použitelné např. v mnoha inženýrských aplikacích, u kterých je výška nad povrchem (např. výška budovy) dostatečně malá ve srovnání s poloměrem Země (RZ = 6378 km).

Ve fyzice nejmenších známých částic vystupuje jedna velevýznamná řada, které se říká Dysonova. Její součet nám o chování elementárních částic říká téměř všechno. Nikdo tuto řadu ovšem sečíst neumí. Přinejlepším je možné sečíst prvních čtyři až pět členů.

Už to (a ve skutečnosti ještě méně) stačí, aby vědci z CERNu tvrdili, že našli novou částici, s jistotou větší než jedna ku milionu! Snad nejpřesnějším měřením v částicové fyzice je magnetický moment elektronu. Ten je změřen s neuvěřitelnou přesností jedna ku bilionu (bilion je jednička a dvanáct nul). To je jako měřit vzdálenost Praha-Sydney s přesností na šířku vlasu. Aby teorie vydala výsledek srovnatelné přesnosti, “stačilo” přitom sečíst prvních šest členů Dysonovy řady. Jednoduché to však nebylo, fyzikům to trvalo více než 50 let...

Feynmannovy diagramy

Komplikace se sčítáním Dysonovy řady vznikají kvůli tomu, že každý další člen je mnohem mnohem složitější než člen předchozí. Každý člen se dá rozdělit do několika sčítanců, které se sice dají snadno znázornit graficky, ale jejich matematická podoba je tím složitější, k čím vyššímu členu Dysonovy řady patří. Navíc počet těchto sčítanců je pro každý vyšší člen mnohem větší než pro člen předchozí. Grafické znázornění daných sčítanců zavedl slavný americký fyzik Richard Feymann. Říká se mu Feynmannovy diagramy. Často můžete slyšet větu, že tímto počinem zpřístupnil teoretickou fyziku laikům. (Zlí jazykové ovšem říkají, že ji tím zpřístupnil experimentálním fyzikům.)

V případě magnetického momentu elektronu je první člen Dysonovy řady znázornitelný jediným Feynmannovým diagramem. Druhý člen je kupodivu také znázornitelný jedním diagramem. Ovšem člen třetí až šestý člen obsahují 7, 72, 891 a 12672 Feynmannových diagramů!

Autor:

50. výročí přistání na Měsící

Americký kosmický let Apollo 11 splnil svoji misi 20. července 1969. Na povrch Měsíce jako první člověk vstoupil velitel posádky Neil Armstrong. Doprovázel jej Edwin "Buzz" Aldrin, zatímco Michael Collins zůstal na palubě vesmírné lodi.

Téma Apollo 11 v článcích Technet.cz:
O čem si povídali kosmonauti Apolla 11. Poslechněte si tisíce hodin „ticha“
Co kdyby Apollo 11 zůstalo na Měsíci? Pohřbili by je přes rádio zaživa
Vlajky na Měsíci stále stojí. Podívejte se na důkaz ze sondy LRO

Nejčtenější

Chyběl necelý metr. Parašutisté nekopali v kryptě obležené nacisty marně

Radarový průzkum krypty v únoru 2019

Po 77 letech od atentátu na Heydricha se podařilo prokázat existenci průchozí stoky před kostelem sv. Cyrila a Metoděje...

Neudělejte chybu jako Ovčáček. Ověřovací kód nikdy nikomu neposílejte

Pro bezpečí na internetu je důležité nesdělovat soukromé ověřovací kódy, někdo...

Pokud vám přijde zpráva s potvrzujícím kódem, zacházejte s ní jako s tajemstvím. Nepište ji nikam, kam nepatří. Nikomu...

Jsou neskutečně levné a jedovaté. Čínské tonery do tiskáren obsazují trh

Jak vybrat náplň do tiskárny, aby do ní padla jako ulitá? Ne každá je vhodná a...

Především kvůli nízké ceně lidé riskují zdraví a kupují ultralevné tonery do laserových tiskáren od neznámých výrobců....

Proč havarovaly Boeingy 737 Max? Firma spěchala a porušila vlastní zásady

Jak vznikly problémy, které vedly k havárii nejnovějších letadel Boeing 737 MAX

Nejnovější letadla Boeing 737 MAX 8 už tři měsíce nelétají. Při dvou jejich nehodách totiž zemřelo 346 lidí. Stopy...

Nečekaný objev. Našli jsme stopy po posledním boji parašutistů

Stopy po výbuchu granátu, který podle dostupných indícií smrtelně zranil Jana...

Osmnáctého června 1942, ve čtyři hodiny deset minut ráno, začal v Resslově ulici v Praze nerovný boj. Stovky esesmanů...

Další z rubriky

Kočky rozumí, když na ně voláme. Jen je to většinou nezajímá

Kočky vám rozumí, ale ignorují vás

Kočičí inteligence je na rozdíl od té psí velmi málo prozkoumaná. Kočky totiž většinou odmítají s vědci spolupracovat....

NASA cvičila astronauty na Měsíc nad sopkou, které je dobré se bát

Krajina centrálního Islandu je nehostinné místo téměř bez života, tvořené...

Okolí islandské sopky Asjki je jedno z nejnehostinnějších míst na Zemi. Což je možná dobře, protože její divoká exploze...

Po Číně Rusko? Další vědec chce provádět dědičné úpravy DNA u dětí

Enzym CRISPR (zeleně a červeně) se připojuje k dvojité šroubovici DNA (fialová...

Ruský vědec Denis Rebrikov údajně připravuje experiment, v jehož rámci by došlo k dědičnému přepisu DNA nenarozených...

Najdete na iDNES.cz