Středa 22. září 2021, svátek má Darina
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Středa 22. září 2021 Darina

Víte, kolik matematiků je potřeba na výměnu žárovky? 0,999...

I když se známému matematickému vtipu nezasmějete, vězte, že je pravdivý. Pro matematiky nula celá devět periodických je skutečně jednička. Proč tomu tak je a proč je vlastně takové podivné číslo někdy výhodné?

Proč je žádná celá devět periodických rovno jedné? (ilustrace) | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Možná se budete divit, ale 0,999... se rovná 1. Matematik by řekl, že 0,999... a 1 jsou dvě reprezentace (dvě různá označení) stejného reálného čísla. Nebuďme troškaři a toto tvrzení dokažme. Ani to nebude bolet. Cestou se seznámíme s tím, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že takový součet vůbec nemusí být nekonečno.

Číslo 0,999... je součet jedné geometrické řady. Za řadu se v matematice označuje posloupnost čísel, která sčítáme. Geometrická řada pak je taková, kde každé následující číslo je x-krát menší než číslo předchozí. Naše geometrická řada je neobyčejně jednoduchá: začíná číslem 0,9 a x=10, neboli každé číslo je desetkrát menší než to před ním. Číselně: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... a takhle stále dál až do zblbnutí (do nekonečna). Všechna čísla jsou kladná, a přece je na první pohled jasné, že součet nikdy nebude nekonečno. Součet prvních dvou je 0,99, prvních tří 0,999, prvních čtyř 0,9999 atd. Součet prvních sta čísel je nula celá a sto devítek.

S nekonečnem nepracujeme „přímo“, ale oklikou, v tomto případě pomocí tzv. limity

Teď přijde asi nejtěžší krok: matematická operace limita. Už jsme si řekli, jak vypadají součty prvních dvou, tří, čtyř, sta čísel. Čím více čísel vezmeme v úvahu, tím blíž je jejich součet jedničce. Klíčové je, že se jedničce můžeme přiblížit na libovolně malou vzdálenost – stačí jen vzít do úvahy dostatečně velké množství sčítanců. A tím je splněna definice limity! Jednoduché, ne? Takže naše řada má limitu, a tou je číslo jedna. Je naprosto přirozené, že za součet naší nekonečné řady označíme tuto limitu. Přesně takhle matematikové pojímají číslo 0,999... - jako limitu řady 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Řady jsou neobyčejně mocný nástroj, kterých je matematika plná. Většina lidí jistě zná Taylorovu řadu, o geometrické řadě jsme už mluvili. Kromě čísel se ovšem dají sčítat i funkce a ještě další matematické objekty. Pomocí řad funkcí jsou definované např. exponenciála, sinus a cosinus. U všech je důležité, že následující člen řady je o hodně menší než člen, který je před ním.

Nahraďte složité jednoduchým

Fyzikové milují řady a fyzika by bez řad nebyla vůbec myslitelná. Řady totiž velmi efektivně pomáhají zjednodušovat složité výpočty. Vtip je v tom, že složitou funkci můžeme často nahradit řadou funkcí jednoduchých a většinu z nich navíc zanedbat. Nezapomínejte, že vyšší členy řad jsou velmi malé!

O autorovi

Vojtěch Pleskot je zaměstnancem Johannes Gutenberg-Universitaet Mainz a pracuje na experimentu Atlas v Evropské organizaci pro jaderný výzkum CERN.

Je také jedním ze spoluzakladatelů a aktivních členů projektu Science To Go! Projekt sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice.

Zanedbání, které provádíme, musíme mít ovšem pevně pod kontrolou - musí být tak malé, aby bylo menší než přesnost, se kterou jsme schopni náš výpočet experimentálně ověřit. Tak například při pohybu v těsné blízkosti povrchu Země obvykle považujeme gravitační sílu za všude stejnou (velikost i směr), přestože “správně” velikost gravitační síly se vzdáleností od Země klesá a tato síla směřuje vždy do středu Země. Toto zanedbání je výtečně použitelné např. v mnoha inženýrských aplikacích, u kterých je výška nad povrchem (např. výška budovy) dostatečně malá ve srovnání s poloměrem Země (RZ = 6378 km).

Ve fyzice nejmenších známých částic vystupuje jedna velevýznamná řada, které se říká Dysonova. Její součet nám o chování elementárních částic říká téměř všechno. Nikdo tuto řadu ovšem sečíst neumí. Přinejlepším je možné sečíst prvních čtyři až pět členů.

Už to (a ve skutečnosti ještě méně) stačí, aby vědci z CERNu tvrdili, že našli novou částici, s jistotou větší než jedna ku milionu! Snad nejpřesnějším měřením v částicové fyzice je magnetický moment elektronu. Ten je změřen s neuvěřitelnou přesností jedna ku bilionu (bilion je jednička a dvanáct nul). To je jako měřit vzdálenost Praha-Sydney s přesností na šířku vlasu. Aby teorie vydala výsledek srovnatelné přesnosti, “stačilo” přitom sečíst prvních šest členů Dysonovy řady. Jednoduché to však nebylo, fyzikům to trvalo více než 50 let...

Feynmannovy diagramy

Komplikace se sčítáním Dysonovy řady vznikají kvůli tomu, že každý další člen je mnohem mnohem složitější než člen předchozí. Každý člen se dá rozdělit do několika sčítanců, které se sice dají snadno znázornit graficky, ale jejich matematická podoba je tím složitější, k čím vyššímu členu Dysonovy řady patří. Navíc počet těchto sčítanců je pro každý vyšší člen mnohem větší než pro člen předchozí. Grafické znázornění daných sčítanců zavedl slavný americký fyzik Richard Feymann. Říká se mu Feynmannovy diagramy. Často můžete slyšet větu, že tímto počinem zpřístupnil teoretickou fyziku laikům. (Zlí jazykové ovšem říkají, že ji tím zpřístupnil experimentálním fyzikům.)

V případě magnetického momentu elektronu je první člen Dysonovy řady znázornitelný jediným Feynmannovým diagramem. Druhý člen je kupodivu také znázornitelný jedním diagramem. Ovšem člen třetí až šestý člen obsahují 7, 72, 891 a 12672 Feynmannových diagramů!

Autor:
  • Nejčtenější

Podívejte se, jak do Česka dorazil poprvé bojový letoun 5. generace

Návštěvníci letošních Dnů NATO v Ostravě budou moci vidět na vlastní oči zatím jediný komerčně dostupný bojový letoun...

Sedm signálů, že se vám do počítače naboural hacker

Máte nepříjemný pocit, že ve vašem počítači či v zařízení, které je připojené k internetu, není něco v pořádku?...

ZX Spectrum, kapesní kalkulačka. Zemřel vynálezce Sinclair, bylo mu 81 let

Ve věku 81 let zemřel Clive Sinclair, který stál u zrodu kapesní kalkulačky. Přispěl rovněž k rozšíření osobních...

Windows 11 se blíží, ale vy si je možná nebudete moci nainstalovat

Premium Už za čtrnáct dní bude na trh oficiálně uvedena nová verze operačního systému Windows, která má nahradit Windows 10....

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Nejdříve šok a pak horečnatá práce. Jak se vyklízelo nebe 11. září 2001

Okolnosti teroristických útoků z 11. září 2001 provedených dopravními letadly v USA jsou známé do nejmenších detailů....

Talent funguje, když se nastartuje v mozku. Odemkněte ho, radí Jan Mühlfeit

Premium Dvaadvacet let pracoval ve firmě Microsoft po boku Billa Gatese. V byznysu se dostal na vrchol, ale také zažil strmý...

„Očkovat sa nechcu, je v tom sajrajt.“ Reportáž z obce, kde odmítají vakcínu

Premium Vyškovec je obec, kde se nejméně lidí z celé země nechalo očkovat proti koronaviru – jen necelých sedmnáct procent. V...

Když dva jsou málo. 5 pravd o sexu ve třech, které vám zatím nikdo neřekl

Premium Sex ve třech. Někdy o něm snil kdekdo z nás. Pojďme ovšem pohlédnout pravdě do očí. Pokud do své ložnice přizvete další...

  • Další z rubriky

STO OBJEVŮ: Osudové fotbalové karty daly sportu jasné mantinely

Seriál Žlutá – pozor, červená – končíš, opusť hřiště. Používání karet ve fotbale změnilo celý sportovní svět, stalo se...

Člověk budoucnosti. Tušíme, jak se člověk změní za milion let?

Přirozenou cestou se může změnit barva naší kůže, rysy v obličeji a tělesné parametry. Umělou cestou může společnost...

Mrazivé noci a piloti na kyslíku. Závod balonů je jako moderní verneovka

Legendární závod vodíkových balonů Pohár Gordona Bennetta opět dokazuje, že právem nese označení nejnáročnější letecký...

STO OBJEVŮ: Psychoanalýza se stala zaklínadlem minulého století

Seriál To slovo se stalo ve 20. století takřka zaklínadlem: psychoanalýza. Máloco tak významně zasáhlo myšlení minulého...

Akční letáky
Akční letáky

Prohlédněte si akční letáky všech obchodů hezky na jednom místě!

Probudila mě bolest nehtů. Od té doby nemohu chodit, říká Alfred Strejček

Už téměř čtyři roky je Alfred Strejček (79) zcela odkázaný na péči druhých. Herci, recitátorovi, moderátorovi a...

Zhubla téměř 50 kilo, teď se zpěvačka Adele pochlubila novou láskou

Během posledních tří let se zpěvačce Adele (33) podařilo zhubnout téměř padesát kilogramů. Britka prožila od rozvodu s...

Legíny nejsou kalhoty. Jak je vybírat a nosit, abyste si neuřízla ostudu

Snad v každém dámském šatníku nalezneme alespoň jedny legíny. Kousek tkaniny se totiž stal miláčkem žen. Některé...

Zaměstnanci i OSVČ s více dětmi dostanou od státu daňovou vratku

Díky daňové novele se během letošního roku zvyšuje daňové zvýhodnění na druhé a další děti. Vyšší daňové zvýhodnění se...

Když dva jsou málo. 5 pravd o sexu ve třech, které vám zatím nikdo neřekl

Premium Sex ve třech. Někdy o něm snil kdekdo z nás. Pojďme ovšem pohlédnout pravdě do očí. Pokud do své ložnice přizvete další...