Čtvrtek 4. března 2021, svátek má Stela
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Čtvrtek 4. března 2021 Stela

Červen - měsíc prvočísel

Svět prvočísel (a s jistou nadsázkou celý náš svět) se od května do června 2004 výrazně změnil. Bylo oznámeno nalezení nového největšího známého prvočísla, pak následovalo překvapující oznámení o vyřešení otázky počtu prvočíselných dvojčat, byla vyřešena Riemannova hypotéza.

Mersennovo prvočíslo nalezeno

Mersennova prvočísla jsou prvočísla speciálního tvaru: M(n)=2n-1. Doposud bylo takovýchto prvočísel známo 40. Čtyřicáté Mersennovo prvočíslo bylo objeveno loni v listopadu. Bylo dosud největším známým prvočíslem (lze jej zapsat pomocí 6 320 430 dekadických cifer). Dne 22. 5. 2004 bylo oficiálně oznámeno nalezení 41. Mersennova prvočísla a po kontrole správnosti byla 29. 5. zveřejněna jeho hodnota – je jím 224 036 583-1. Toto číslo se stalo největším v současnosti známým prvočíslem – lze jej zapsat pomocí 7 235 733 dekadických cifer. (Mimochodem, odborníci předpokládali, že bude výrazně větší a k jeho zápisu bude potřeba přes devět milionů číslic.) K nalezení bylo použita kapacita 240 000 PC, kterou dobrovolníci v rámci projektu GIMPS poskytli. Odměna 100 000 USD, kterou věnuje organizace Electronic Frontier Foundation za nalezení prvočísla, k jehož zapsání bude potřeba 10 miliónů cifer, tak stále ještě nebude vyplacena a čeká pravděpodobně na toho, kdo nalezne 42. Merssennovo prvočíslo. Číslo si můžete v dekadickém tvaru stáhnout z http://mersenne.org/prime7.htm. Protože jsme se Mersennovými prvočísly již dříve zabývali (Za nalezení Mersennova prvočísla bude vyplaceno 100 000 dolarů), tak se dnes spokojíme pouze s výše uvedeným krátkým konstatováním o nalezení tohoto nového velikána.

Pokud by vás zajímala struktura tohoto čísla, pak v e-zinu Crypto-World se můžete dočíst, jak dopadl statistický rozbor na náhodné rozdělení číslic v jeho zápisu. Informace o projektu hledání Mersennových prvočísel naleznete zde: http://www.mersenne.org/prime.htm.

Prvočíselná dvojčata

Koncem května 2004 profesor Richard Arenstorf z Vanderbiltovy univerzity publikoval 38 stránkovou studii, ve které pomocí klasické číselné teorie dokazuje, že prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho. Podařilo se mu tak vyřešit jeden ze známých otevřených problémů teorie čísel. O co v tomto problému šlo? Prvočíselnými dvojčaty nazýváme taková prvočísla a,b, jejichž rozdíl je 2. Tedy např. (3,5), (5,7), (11,13), (29,31), … (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063)… Asi vás ihned napadne, že najít „velká“ prvočíselná dvojčata je těžší a těžší. Jinými slovy – je jich stále méně a méně. Pomocí počítačů se podařilo najít opravdová „odrostlá dvojčátka“, která se dají napsat pomocí desítek tisíc dekadických cifer.

Mezi největší známá prvočíselná dvojčata patří následující čísla:
361 700 055 × 239020+1 a 361 700 055 × 239020-1 (1999, H. Lifschitz)
665 551 035 × 280025+1 a 665 551 035 × 280025-1 (2000, Carmody, 24098 dekadických číslic)
33 218 925 × 2169690+1 a 33 218 925 × 2169690-1 (2002, 51090 dekadických číslic).

Graf výskytů prvočíselných dvojčat
Počet prvočíselných dvojčat menších než x

Hledání prvočíselných dvojčat a stanovení jejich počtu se stalo otevřenou výzvou pro matematiky 20. století. Během století bylo vysloveno a výpočtem ověřeno několik odhadů, které se týkají výskytu prvočíselných dvojčat.

Hypotéza 1: V intervalu <1,n> leží přibližně n / (ln n)2 prvočíselných dvojic.

Hypotéza 2: Vezmeme-li prvočíslo p, pak pravděpodobnost toho, že p+2 je prvočíslo je:
1,32032 × n / (ln n)2.

Výše uvedené odhady byly potvrzeny výpočtem pro velké soubory čísel. Odhady velice přesně korespondují s výpočty provedenými na PC.

Jako příklad si uvedeme shodu počtu předpověděných (P) a nalezených (N) prvočíselných dvojčat v různých intervalech délky 150 000.

Interval P N
100 000 000 , 100 150 000 584 601
1 000 000 000 , 1 000 150 000 461 466
10 000 000 000 , 10 000 150 000 374 389
100 000 000 000 , 100 000 150 000 309 276
1 000 000 000 000, 1 000 000 150 000 259 276
10 000 000 000 000, 10 000 000 150 000 221 208
100 000 000 000 000 , 100 000 000 150 000 191 186
1 000 000 000 000 000 , 1 000 000 000 150 000 166 161

Z výpočtu je zřejmé, že počet prvočíselných dvojčat „pravidelně“ klesá. Nabízí se tedy otázka, zda existuje nějaké velké číslo K, pro nějž platí, že všechna prvočíselná dvojčata jsou menší než tato konstanta. Jinými slovy, zda existuje pouze konečně mnoho prvočíselných dvojčat, nebo zda jich je nekonečné množství.

Hypotéza 3: Prvočíselných dvojčat je konečně mnoho. Přiznávám, že předchozí úvaha, která vyústila ve formulaci hypotézy o konečnosti prvočíselných dvojčat, je poněkud zjednodušená a zavádějící. Obdobnou argumentaci bychom totiž mohli použít i na prvočísla. Také jejich počet s rostoucím n klesá a prvočísla jsou rozložena řidčeji a řidčeji. Přesto je velice jednoduché ukázat, že jich je nekonečně mnoho.

Věta: Prvočísel je nekonečně mnoho.

Důkaz sporem: Nechť je prvočísel konečně mnoho, označme jejich počet jako n. Sestrojme z těchto n prvočísel následující číslo: p1 × p2 × p3 × … × pn +1 (součin všech prvočísel + 1). Toto číslo je prvočíslo, ale je odlišné od všech n prvočísel. Prvočísel by tedy muselo být n + 1 a to je spor s předpokladem, že prvočísel je n.

V čem je tedy rozdíl mezi prvočísly a prvočíselnými dvojčaty, že vznikla hypotéza o možné konečnosti počtu dvojčat?

V čem se tak zásadně liší posloupnosti, které bychom vytvořili z prvočísel resp. prvočíselných dvojčat? Významný rozdíl mezi posloupností všech prvočísel a posloupností prvočíselných dvojčat je v tom, že harmonická prvočíselná řada diverguje, ale řada složená ze všech prvočíselných dvojčat konverguje. Kupříkladu mezi prvočísly a přirozenými čísly není v tomto smyslu významný rozdíl, obě příslušné harmonické řady divergují.

Konveregenci harmonické řady prvočíselných dvojčat: (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + ... dokázal v roce 1919 matematik Brun.

Během dvacátého století byly objeveny jisté indicie, že by tato řada mohla být nekonečná a naše hypotéza 3 je pravděpodobně neplatná.

Součet řady byl nazván Brunova konstanta. V únoru 1999 stanovil Thomas Nicley hodnotu Brunovy konstanty na 1,902 160 582 3… Pro ty, kteří často pokládají otázku: „K čemu to je?“, odpovím jednou zajímavostí. Při výpočtech na odhadu této konstanty objevil Thomas Nicley chybu v procesoru Intel Pentium.

Vraťme se však k prvočíselným dvojčatům a k otázce jejich konečnosti či nekonečnosti. V květnu 2004 profesor Richard Arenstorf ve své práci tento sto let starý problém s konečnou platností vyřešil.

Nekonečný počet prvočíselných dvojčat

Věta: Prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho.
Důkaz: Richard Arenstorf: There Are Infinitely Many Prime Twins [odkaz 1] [odkaz 2]

Riemannova hypotéza

Na matematické konferenci v Paříži 24.5.2000 CMI (Clay Mathematics Institut of Cambridge) vyhlásil sedm matematických problémů tisíciletí   "Millennium Prize Problems". (Podobalo se to události před sto lety, kdy 8. 8. 1900 David Hilbert vyhlásil program řešení otevřených problémů.)

Tentokráte je však připraven i fond se sedmi milióny dolarů. Za řešení každého z problémů je vypsána odměna, a to jeden milión dolarů! Všeobecně se očekávalo, že nebudou vyplaceny příliš brzy. Přesto již téměř přesně po čtyřech letech oznámil Luis de Branges de Bourcia, profesor matematiky Purdueovy univerzity, že vyřešil čtvrtý z předložených problémů – tzv. Riemannovu hypotézu. Riemannova hypotéza souvisí s nulovými body Riemannovy zeta-funkce v komplexní rovině. Pokud bude potvrzeno, že v důkazu není chyba, může to mít obrovský dopad pro teorii prvočísel, speciálně při dokazování, zda je číslo prvočíslem. Speciálně Miller v roce 1976 dokázal, že tzv. prvočíselnost (tj. určení, zda je nebo není číslo prvočíslem) lze řešit v polynomiálním čase! (G.L. Miller: Riemann´s hypothesis and tests for primality. J.Comput.System Sci, 1976) Ovšem v důkazu předpokládal, že platí Riemannova hypotéza. Pokud bude potvrzeno, že v důkazu není chyba, pak současná teorie čísel dosáhla důkazem Riemannovy hypotézy obrovského úspěchu. Většina matematiků nepředpokládala, že bude dosaženo tohoto skutečného milníku, tak brzy po zařazení problému do souboru otevřených úloh CMI.

Související odkazy

Michael Kanellos: Riemann hypothesis proven?, 9. 6. 2004, News Com, [odkaz]
Louis de Branges de Bourcia : Apology for the proof of the Riemann hypothesis, [odkaz]
  • Nejčtenější

ANALÝZA: Lidé nejsou méně ukáznění. Proč rostou počty případů a co dál

Ze současné situace neexistuje žádné jednoduché a levné východisko. Ale jedna cesta nabízí naději na relativně rychlé...

Prototyp velké lodi SpaceX konečně úspěšně přistál, pak však vybuchl

Společnost SpaceX provedla další test prototypu, z nějž vznikne budoucí velkokapacitní loď Starship. Ten současný měl...

Boeing, nebo Airbus? Rozdíly jsou obrovské pro piloty, ne pro cestující

Stejně jako se fanoušci Sparty a Slavie neshodnou, který tým je lepší, v civilním letectví panuje značná neshoda v tom,...

Nadějná data. Stále přibývá dokladů toho, že vakcíny brání šíření viru

Nadějné výsledky z posledních dní naznačují, že minimálně některé vakcíny proti viru SARS-CoV-2 výrazně zpomalují jeho...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Microsoft chce vrátit Windows 10 na výsluní, připravuje další vylepšení

Aktualizace uživatelského rozhraní, vizuální omlazení, nové funkce, dynamický obsah a modernější operační systém. Toho...

Exploze viru: v domově důchodců ve Vrchlabí zabil polovinu seniorů

Premium Tragédie v domově seniorů varuje, jak rychle se šíří nákaza koronavirem a jak smrtelná může být. Celorepublikově pak...

Randění pod rouškou. Reportérka absolvovala sedm pokusů o seznámení

Premium „Jestli si někoho nenajdeš, než ti bude třicet, nainstaluju ti seznamku,“ oznámila mi moje nejlepší kamarádka. Patřím...

Zavřené nezavřené restaurace. Jak vypadá zapovězený společenský život?

Premium Zaplněné stoly, skupinky lidí se sklenicemi vína a smích nesoucí se až na ulici. Nejde o výjev starý víc než rok, ale o...

  • Další z rubriky

Wikipedie slaví 20 let. Podívejte se na 20 faktů, které vás možná překvapí

Wikipedie je největším bezplatným světovým zdrojem informací téměř o všem. Dvacet let po svém založení má měsíčně více...

Online služby umí převést i upravit PDF soubory. Nově i Adobe

Převádět, měnit pořadí stránek, vyplňovat a dělat další úpravy nebylo s PDF soubory nikdy úplně snadné. Existuje přitom...

Deset nadějných sociálních sítí z ciziny i Česka, na kterých zatím nejste

Budoucnost sociálních sítí je možná v menších, úzce zaměřených platformách. Na nich se na rozdíl od Facebooku nemusíte...

OBRAZEM: Úžasná místa v Česku můžete navštívit koronaviru navzdory

Prozkoumejte Česko, běžně nedostupná místa i nyní zavřené památky, prostřednictvím virtuálních prohlídek a speciálních...

Staňte se jednou ze 30 testerek a vyzkoušejte novinku HiPP 2 BIO Combiotik®
Staňte se jednou ze 30 testerek a vyzkoušejte novinku HiPP 2 BIO Combiotik®

Už žádné odměřování správného poměru instantního mléka, převařování vody a čekání na její zchladnutí. Tekuté mléko HiPP 2 BIO Combiotik® je...

Gabriela Koukalová se pochlubila, že čeká miminko. Změnila si i příjmení

Bývalá biatlonistka Gabriela Koukalová (31) bude maminkou. V ranním vysílání na Primě se pochlubila šťastnou novinou a...

Nepravda a účelovka, říká Koukal o tvrzení exmanželky Soukalové

Po obviněních bývalé biatlonistky Gabriely Soukalové (31), že ji exmanžel Petr Koukal (35) podváděl a utrácel její...

Zemřel rockový bubeník kapely Citron a podnikatel Radim Pařízek

Zemřel rockový bubeník spjatý zejména s heavymetalovou kapelou Citron Radim Pařízek. Hudebníkovi, který se uplatnil i v...

Amatérské porno je realita, která lidí baví, říká pornoherečka

Porno je film, fikce, představení. Amatérská videa jsou však realita. „A to na nich lidi baví. Nikdo nechodí po...

Randění pod rouškou. Reportérka absolvovala sedm pokusů o seznámení

Premium „Jestli si někoho nenajdeš, než ti bude třicet, nainstaluju ti seznamku,“ oznámila mi moje nejlepší kamarádka. Patřím...