Mersennovo prvočíslo nalezeno
Mersennova prvočísla jsou prvočísla speciálního tvaru: M(n)=2n-1. Doposud bylo takovýchto prvočísel známo 40. Čtyřicáté Mersennovo prvočíslo bylo objeveno loni v listopadu. Bylo dosud největším známým prvočíslem (lze jej zapsat pomocí 6 320 430 dekadických cifer). Dne 22. 5. 2004 bylo oficiálně oznámeno nalezení 41. Mersennova prvočísla a po kontrole správnosti byla 29. 5. zveřejněna jeho hodnota – je jím 224 036 583-1. Toto číslo se stalo největším v současnosti známým prvočíslem – lze jej zapsat pomocí 7 235 733 dekadických cifer. (Mimochodem, odborníci předpokládali, že bude výrazně větší a k jeho zápisu bude potřeba přes devět milionů číslic.) K nalezení bylo použita kapacita 240 000 PC, kterou dobrovolníci v rámci projektu GIMPS poskytli. Odměna 100 000 USD, kterou věnuje organizace Electronic Frontier Foundation za nalezení prvočísla, k jehož zapsání bude potřeba 10 miliónů cifer, tak stále ještě nebude vyplacena a čeká pravděpodobně na toho, kdo nalezne 42. Merssennovo prvočíslo. Číslo si můžete v dekadickém tvaru stáhnout z http://mersenne.org/prime7.htm. Protože jsme se Mersennovými prvočísly již dříve zabývali (Za nalezení Mersennova prvočísla bude vyplaceno 100 000 dolarů), tak se dnes spokojíme pouze s výše uvedeným krátkým konstatováním o nalezení tohoto nového velikána.
Pokud by vás zajímala struktura tohoto čísla, pak v e-zinu Crypto-World se můžete dočíst, jak dopadl statistický rozbor na náhodné rozdělení číslic v jeho zápisu. Informace o projektu hledání Mersennových prvočísel naleznete zde: http://www.mersenne.org/prime.htm.
Prvočíselná dvojčata
Koncem května 2004 profesor Richard Arenstorf z Vanderbiltovy univerzity publikoval 38 stránkovou studii, ve které pomocí klasické číselné teorie dokazuje, že prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho. Podařilo se mu tak vyřešit jeden ze známých otevřených problémů teorie čísel. O co v tomto problému šlo? Prvočíselnými dvojčaty nazýváme taková prvočísla a,b, jejichž rozdíl je 2. Tedy např. (3,5), (5,7), (11,13), (29,31), … (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063)… Asi vás ihned napadne, že najít „velká“ prvočíselná dvojčata je těžší a těžší. Jinými slovy – je jich stále méně a méně. Pomocí počítačů se podařilo najít opravdová „odrostlá dvojčátka“, která se dají napsat pomocí desítek tisíc dekadických cifer.
Mezi největší známá prvočíselná dvojčata patří následující čísla:
361 700 055 × 239020+1 a 361 700 055 × 239020-1 (1999, H. Lifschitz)
665 551 035 × 280025+1 a 665 551 035 × 280025-1 (2000, Carmody, 24098 dekadických číslic)
33 218 925 × 2169690+1 a 33 218 925 × 2169690-1 (2002, 51090 dekadických číslic).
Počet prvočíselných dvojčat menších než x
Hledání prvočíselných dvojčat a stanovení jejich počtu se stalo otevřenou výzvou pro matematiky 20. století. Během století bylo vysloveno a výpočtem ověřeno několik odhadů, které se týkají výskytu prvočíselných dvojčat.
Hypotéza 1: V intervalu <1,n> leží přibližně n / (ln n)2 prvočíselných dvojic.
Hypotéza 2: Vezmeme-li prvočíslo p, pak pravděpodobnost toho, že p+2 je prvočíslo je:
1,32032 × n / (ln n)2.
Výše uvedené odhady byly potvrzeny výpočtem pro velké soubory čísel. Odhady velice přesně korespondují s výpočty provedenými na PC.
Jako příklad si uvedeme shodu počtu předpověděných (P) a nalezených (N) prvočíselných dvojčat v různých intervalech délky 150 000.
| Interval | P | N |
| 100 000 000 , 100 150 000 | 584 | 601 |
| 1 000 000 000 , 1 000 150 000 | 461 | 466 |
| 10 000 000 000 , 10 000 150 000 | 374 | 389 |
| 100 000 000 000 , 100 000 150 000 | 309 | 276 |
| 1 000 000 000 000, 1 000 000 150 000 | 259 | 276 |
| 10 000 000 000 000, 10 000 000 150 000 | 221 | 208 |
| 100 000 000 000 000 , 100 000 000 150 000 | 191 | 186 |
| 1 000 000 000 000 000 , 1 000 000 000 150 000 | 166 | 161 |
Z výpočtu je zřejmé, že počet prvočíselných dvojčat „pravidelně“ klesá. Nabízí se tedy otázka, zda existuje nějaké velké číslo K, pro nějž platí, že všechna prvočíselná dvojčata jsou menší než tato konstanta. Jinými slovy, zda existuje pouze konečně mnoho prvočíselných dvojčat, nebo zda jich je nekonečné množství.
Hypotéza 3: Prvočíselných dvojčat je konečně mnoho. Přiznávám, že předchozí úvaha, která vyústila ve formulaci hypotézy o konečnosti prvočíselných dvojčat, je poněkud zjednodušená a zavádějící. Obdobnou argumentaci bychom totiž mohli použít i na prvočísla. Také jejich počet s rostoucím n klesá a prvočísla jsou rozložena řidčeji a řidčeji. Přesto je velice jednoduché ukázat, že jich je nekonečně mnoho.
Věta: Prvočísel je nekonečně mnoho.
Důkaz sporem: Nechť je prvočísel konečně mnoho, označme jejich počet jako n. Sestrojme z těchto n prvočísel následující číslo: p1 × p2 × p3 × … × pn +1 (součin všech prvočísel + 1). Toto číslo je prvočíslo, ale je odlišné od všech n prvočísel. Prvočísel by tedy muselo být n + 1 a to je spor s předpokladem, že prvočísel je n.
V čem je tedy rozdíl mezi prvočísly a prvočíselnými dvojčaty, že vznikla hypotéza o možné konečnosti počtu dvojčat?
V čem se tak zásadně liší posloupnosti, které bychom vytvořili z prvočísel resp. prvočíselných dvojčat? Významný rozdíl mezi posloupností všech prvočísel a posloupností prvočíselných dvojčat je v tom, že harmonická prvočíselná řada diverguje, ale řada složená ze všech prvočíselných dvojčat konverguje. Kupříkladu mezi prvočísly a přirozenými čísly není v tomto smyslu významný rozdíl, obě příslušné harmonické řady divergují.
Konveregenci harmonické řady prvočíselných dvojčat: (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + ... dokázal v roce 1919 matematik Brun.
Během dvacátého století byly objeveny jisté indicie, že by tato řada mohla být nekonečná a naše hypotéza 3 je pravděpodobně neplatná.
Součet řady byl nazván Brunova konstanta. V únoru 1999 stanovil Thomas Nicley hodnotu Brunovy konstanty na 1,902 160 582 3… Pro ty, kteří často pokládají otázku: „K čemu to je?“, odpovím jednou zajímavostí. Při výpočtech na odhadu této konstanty objevil Thomas Nicley chybu v procesoru Intel Pentium.
Vraťme se však k prvočíselným dvojčatům a k otázce jejich konečnosti či nekonečnosti. V květnu 2004 profesor Richard Arenstorf ve své práci tento sto let starý problém s konečnou platností vyřešil.
Nekonečný počet prvočíselných dvojčat
Důkaz: Richard Arenstorf: There Are Infinitely Many Prime Twins [odkaz 1] [odkaz 2]
Riemannova hypotéza
Na matematické konferenci v Paříži 24.5.2000 CMI (Clay Mathematics Institut of Cambridge) vyhlásil sedm matematických problémů tisíciletí "Millennium Prize Problems". (Podobalo se to události před sto lety, kdy 8. 8. 1900 David Hilbert vyhlásil program řešení otevřených problémů.)
Tentokráte je však připraven i fond se sedmi milióny dolarů. Za řešení každého z problémů je vypsána odměna, a to jeden milión dolarů! Všeobecně se očekávalo, že nebudou vyplaceny příliš brzy. Přesto již téměř přesně po čtyřech letech oznámil Luis de Branges de Bourcia, profesor matematiky Purdueovy univerzity, že vyřešil čtvrtý z předložených problémů – tzv. Riemannovu hypotézu. Riemannova hypotéza souvisí s nulovými body Riemannovy zeta-funkce v komplexní rovině. Pokud bude potvrzeno, že v důkazu není chyba, může to mít obrovský dopad pro teorii prvočísel, speciálně při dokazování, zda je číslo prvočíslem. Speciálně Miller v roce 1976 dokázal, že tzv. prvočíselnost (tj. určení, zda je nebo není číslo prvočíslem) lze řešit v polynomiálním čase! (G.L. Miller: Riemann´s hypothesis and tests for primality. J.Comput.System Sci, 1976) Ovšem v důkazu předpokládal, že platí Riemannova hypotéza. Pokud bude potvrzeno, že v důkazu není chyba, pak současná teorie čísel dosáhla důkazem Riemannovy hypotézy obrovského úspěchu. Většina matematiků nepředpokládala, že bude dosaženo tohoto skutečného milníku, tak brzy po zařazení problému do souboru otevřených úloh CMI.
