„Kdo dokáže Riemannovu hypotézu, stane se slavným,“ uvedl během své přednášky jen tak mezi řečí Michael Atiyah, devadesátiletý britský matematik. Těžko jej však může někdo podezírat z toho, že usiluje o slávu. Atiah patří mezi nejuznávanější matematiky současnosti. Je držitelem dvou nejvýznamnějších ocenění této královny věd: Fieldsovy medaile (1966) a Abelovy ceny (2004).
Snad proto Atiyah vzápětí dodal: „Pokud už však jste slavným, tak se takovým důkazem stanete nechvalně proslulým.“ Celkem správně tedy předpokládal skeptickou reakci matematické komunity na to, co v abstraktu své přednášky nazval „jednoduchým důkazem“ slavné Riemannovy hypotézy (na přednášku jsme upozornili v článku Britský matematik tvrdí, že vyřešil nejslavnější záhadu).
Záznam přednášky Sira Michaela Atiyaha (HLF, anglicky):
„Proč ještě nebyla Riemannova hypotéza vyřešena? Nikdo nevěří žádným z těch takzvaných důkazů, které se za ta léta objevily,“ podotkl z kraje přednášky Atiyah. „Když řeknete, že jste využil nějaké již známé metody a jen jste to lépe nakombinovali, odpoví vám, že je to nesmysl, kdyby to bylo tak jednoduché, už to vyřešil někdo chytřejší než vy. Ale když řeknete, že jste použili radikálně nový přístup, tak si řeknou: Dobře, to si poslechneme.“
Opravdu stručný úvod do Riemannovy hypotézy
Riemannova funkce zeta
Riemannova hypotéza fascinuje a trápí matematický svět již od poloviny 19. století. Vztahuje se k určitým speciálním výsledkům Riemannovy funkce zeta, která počítá součet nekonečných řad.
Třeba zeta pro číslo 2 je součet nekonečné řady 1 + 1/(22) + 1/(3²) + 1/(4²) + 1/(5²)..., což je nekonečná řada, jejíž součet se však blíží (konverguje) ke konečnému číslu: 1,645... Podobně pak pro číslo 3 je zeta 1 + 1/(23) + 1/(3³) + 1/(4³) + 1/(5³)...
Takto lze spočítat hodnoty funkce zeta pro čísla větší než jedna. Ale je to mnohem složitější. Německý matematik Bernhard Riemann (1826 - 1866) ukázal, že funkce zeta dává smysl i pro čísla nižší než jedna a dokonce i pro čísla komplexní (která mají reálnou a imaginární část). Tam se tento součet nekonečné řady posčítat nedá, alespoň ne ve smyslu, jak o součtu běžně mluvíme (více o součtech řad a Riemannově hypotéze v tomto českém videu).
Co s tím? Pro některé výpočty (a tady nás nechytejte moc za slovo, zde se vydáváme za hranice našeho chápání, pozn. red.) mohou matematici „protáhnout“ výsledky z jedné části plochy na druhou, tzv. analytické rozšíření funkce. Což funguje, pokud zároveň z tohoto protažení neděláme nesmyslné závěry, jinými slovy, musíme si pamatovat, že při protažení funkce jsme se dopustili jistého triku. Třeba zeta pro -1 po takovémto analytickém rozšíření nabývá hodnoty -1/12, přestože jde vlastně o součet všech přirozených čísel, který samozřejmě není konečný.
Riemannova funkce zeta má triviální kořeny v záporných sudých číslech. Netriviální nuly jsou pak na přímce 1/2. Proč, to je otázka za milion dolarů. |
Riemannova funkce zeta má tedy výsledek pro jakékoli komplexní číslo (kromě jedničky). A tady to začíná být teprve zajímavé. Tedy alespoň pro matematiky, kteří se věnují teorii čísel. Pro některá čísla vyjde Riemannova zeta funkce nula a tyto nuly (kořeny) jsou buď triviálně předvídatelné (všechna sudá záporná čísla -2, -4, -6 atd.), nebo naopak naprosto nepředvídatelné. A právě tyto „netriviální“ kořeny leží z nějakého důvodu všechny na přímce, jejíž reálná hodnota je rovna 1/2.
Vizuální pohled na Riemannovu zeta funkci (3Blue1Brown, anglicky):
Tedy zatím zde leží všechny známé netriviální kořeny. A to je právě podstatou Riemannovy hypotézy. Ta tvrdí, že na přímce 1/2 leží všechny netriviální nuly. Stačilo by najít jediný takový kořen, který leží jinde, a hypotéza by přestala platit. Známe už miliardy netriviálních kořenů (nul) a všechny leží na přímce 1/2 (přímka je kolmá na osu x, na obrázku je znázorněna přerušovaně).
Riemannova funkce zeta - výsledky (absolutní hodnota) znázorněné barvou. Tmavě modrá ukazuje nulové kořeny.
Problém patří mezi tzv. Problémy tisíciletí, vyřešit se jej za téměř 160 let pokusily již tisíce matematiků a zatím neúspěšně. Za vyřešení v roce 2000 vypsal Clay Mathematics Institute odměnu ve výši milionu dolarů. Právě o tuto částku se nyní uchází Michael Atiyah.
Atiyah se k řešení Riemannovy hypotézy dostal oklikou
„Já jsem nezačal tím, že bych chtěl vyřešit Riemannovu hypotézu,“ řekl během své přednášky, téměř omluvně, matematik britsko-libanonského původu. „Sotva jsem věděl, co to Riemannova hypotéza je. Zkoumal jsem něco úplně jiného. Zkoumal jsem problémy fyzikální. Riemannova hypotéza je jen bonus.“
Atiyah didn't set out to prove the Riemann Hypothesis. He was trying to derive the fine structure constant (yes, that thing from physics). The RH was just a bonus. #HLF18 https://t.co/vaPpOgot19
Atiyah ve své studii (kterou zaslal k publikaci v roce 2018 do prestižního britského vědeckého časopisu, ale zatím neprošla recenzním řízením) zkoumal tzv. konstantu jemné struktury, která se týká elektromagnetické interakce a hraje důležitou roli v kvantové fyzice. Fyzikové umí tuto konstantu naměřit, ale nevědí, jak ji spočítat „s libovolnou přesností“.
Slavný fyzik Richard Feynman označil tuto konstantu za jednu z největších záhad moderní fyziky. A Michael Atiyah se domnívá, že našel způsob, jak tuto konstantu vyjádřit elegantněji.
Fine Structure Constant (Atiyah, 2018)
„A ve chvíli, kdy Atiyah našel konstantu jemné struktury, dal nohy nahoru, otevřel šampaňské a zjistil, že omylem dokázal Riemannovu hypotézu,“ glosoval přednášku na Twitteru astronom Markus Pössel z Heidelbergu. A skutečně, na samotný „důkaz Riemannovy hypotézy“ pak Atiyahovi stačil jeden jediný slajd.
Incidentally, here is the proof. You're welcome. #HLF18 https://t.co/cXe2mPyFfB
K důkazu tedy Atiyah využívá tzv. důkaz sporem. Předpokládá, že je pravda něco, co by hypotézu popřelo (kořen mezi nulou a jedničkou, ale nikoli na přímce 1/2), a pak ukáže, že by takový předpoklad vedl ke sporu, čímž je důkaz proveden.
Tedy - je proveden, pokud jde skutečně o spor. A o tom ani námi oslovení matematici nejsou přesvědčeni.
Kdo je ten Todd a proč bychom mu měli věřit?
Hlavní problém s důkazem se zdá být v tom, že Atiyah neukázal nějakou evidentní souvislost odkazovaných fyzikálních konceptů s Riemannovou funkcí zeta.
„Vypadá to neuvěřitelně,“ řekl sám Atiyah, „ale tvrdím, že všechna důležitá práce byla odvedena před sedmdesáti lety.“ Odkazuje se na práci Johna von Neumanna a Friedricha Hirzebrucha.
Přednáška neobsahovala samotný důkaz, jen náznak možného důkazu. Chyběly mezikroky... |
„Zatím jsem z toho neměl pocit, že by se z té přednášky dalo něco usoudit,“ je při závěrech opatrný Mirko Rokyta, proděkan pro matematickou sekci z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. „Ta přednáška obsahovala hodně historie a kontextu, ale přímo ten důkaz tam ukázaný nebyl. A z toho pětistránkového PDF, které na internetu koluje, to tedy také není jasné, podrobnosti tam také nejsou.“ Podle Rokyty bude potřeba, aby Atiyah poskytl matematikům další podrobnosti, které komunitě umožní důkaz prověřit.
„Jsou tam takové čtyři obecné kroky a o každém z nich by se dalo dlouho diskutovat. Ty mezikroky nejsou podložené žádným argumentem,“ dodává Rokyta.
Jeho skeptický pohled není ojedinělý. „Atiyahův důkaz se může potvrdit, nebo - a to je pravděpodobnější - se ukáže, že nikam nevede,“ píše Peter Lynch, emeritní profesor matematiky na UCD School of Mathematics and Statistics. Lynch je skeptický k použité Toddově funkci.
Atiyah si v závěru přednášky postěžoval na to, že matematický svět není myšlenkám „starších“ nakloněn, a zároveň vyslovil domněnku, že jeho nápad je příliš nový, a proto bude odmítán.
Also, Atiyah claims that people are unfairly dismissive of new ideas - in this case, the weird infinite series of series thingy that defines the Todd function. #HLF18
Zatím je příliš brzy na to říci, zda byl důkaz skutečně nastíněn, či zda se Atiyah jen vydal do další slepé uličky, jejíž podstata se ukáže třeba až za několik let. Dalším krokem by - z pohledu vědecké komunity - měla být studie vydaná v recenzovaném časopise. Matematická komunita se zřejmě také podívá blíže na zoubek onomu fyzikálnímu propojení. „Povede spíše k tomu, že se teď bude zkoumat ta Toddova funkce a zda ji lze použít tím způsobem, který Atiyah nastínil,“ myslí si Michal Bulant, prorektor pro studium a informační technologie Masarykovy univerzity v Brně.
Důkaz nebo vyvrácení Riemannovy věty by mohlo mít dopad na počítačovou bezpečnost. Zatím je to ale v rovině spekulací... |
Před představením důkazu se mluvilo o tom, že by přednáška mohla mít vliv i mimo akademickou sféru, například na kyberbezpečnost. „Důsledkem Riemannovy hypotézy je přesnější znalost rozložení prvočísel mezi ostatními čísly. Pak by to mohlo mít důsledky pro ty oblasti, kde se prvočísla používají, tedy třeba počítačová bezpečnost a šifrování,“ říká Rokyta. „To už jsou ale spekulace. Tam by ale hodně záleželo na tom důkazu, jaká matematika by pro ten důkaz byla použita.“
Okamžité důsledky pro kryptografii nebo další oblasti, kterých se Riemannova hypotéza a její souvislost s prvočísly dotýká, se zatím nekonají. Přednáška nicméně přesto ukázala, v čem spočívá krása matematiky: nečekané souvislosti. „V matematice se mohou propojit koncepty z různých oborů. Potkají se tu myšlenky napříč staletími a ze všech částí světa,“ řekl láskyplně Atiyah. Pokud se jeho teorie nepotvrdí, Atiyahův přínos matematice tento neúspěšný pokus nijak nezmenší.
Aktualizace: V článku jsme opravili informace o tzv. analytickém rozšíření funkce a upřesnili „nulové kořeny“ funkce zeta. Doplnili jsme odkazy a kontext. Doplnili jsme video se sestřihem z přednášky s českými titulky.
