Je to téměř na den dva roky, kdy bylo ohlášeno nalezení 39. Mersennova prvočísla (viz rámeček). Do té doby bylo největší známém prvočíslem 38. Merssennovo prvočíslo, které se rovná 2 26 972 593-1. Toto prvočíslo bylo prvé známé megaprvočíslo, tedy prvočíslo, které má více jak milión cifer (přesně 2 098 960!), druhé (v té době) největší známé prvočíslo 2 23 021 377-1 (třicáté sedmé Mersennovo prvočíslo) mělo "jen" 909 526 cifer. Pro lepší představu o velikosti 38. Merssenova prvočísla uveďme, že při tisku (fontem bold 10) zabere cca 110 stránek A4. Při zápisu do řady, kde jedna číslice je široká 1 mm a mezery mezi číslicemi zanedbáme, by toto číslo bylo více jak 2 km dlouhé!
|
Co jsou Mersennova prvočísla? Mersennova prvočísla jsou prvočísla speciálního tvaru, a to Mn = 2 n-1. Aby číslo uvedeného tvaru mohlo být prvočíslo, musí být exponent n prvočíslem. Jedná se ovšem jen o podmínku nutnou. Začátkem 17. století vyslovil francouzský matematik a teolog Marin MERSENNE (1588 - 1648) hypotézu, že pro n menší jak 258 jsou čísla tvaru Mn = 2 n- 1 prvočísly, právě pro n= 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Prvočísla tvaru Mn = 2n-1 se proto v současné době na jeho počest nazývají Mersennova prvočísla. |
Třicáté deváté Mersennovo prvočíslo nalezl 14.11.2001 Michael Cameron, dvacetiletý student z Kanady. Do týdne byla tato zpráva oficiálně potvrzena. Tímto číslem je 2213 466 917-1, v dekadickém tvaru obsahuje 4 053 946 cifer a k jeho „ručnímu“ zápisu bychom potřebovali více jak tři týdny. Celé číslo lze nalézt zde. K jeho objevení se spojilo na 130.000 dobrovolníků, kteří zpracovávali na svých počítačích přidělená data pomocí speciálního distribuovaného programu. Úspěšný však může být pouze jeden a tím se stal právě Michael Cameron. To, na čem několik let všichni spolupracovali, se mu podařilo s jeho domácím počítačem (800MHz AMD) pouze pár týdnů po jeho vstupu do projektu.
Po dvou letech (17.11.2003) se zde objevila nová předběžná zpráva - čtyřicáté Merssennovo prvočíslo bylo objeveno!
Úsilí dalších tisíců dobrovolníků (spojených pod heslem Tvoříme budoucnost matematiky!) bylo korunováno úspěchem. Zpráva zatím neobsahuje žádné konkrétní údaje. Není zde uvedeno ani jméno objevitele, ani nejsou uvedeny žádné konkrétní údaje o tomto čísle (exponent, dekadická délka). V současné době probíhá kontrolní ověření. Kontrolní výpočet bude ukončen začátkem prosince a teprve potom budou v oficiální zprávě zveřejněny všechny podrobnosti.
Jaký pravděpodobně bude nový rekordman? Odhaduji, že by toto číslo mohlo mít již téměř 10.000.000 (deset miliónů) cifer. Pokud tomu tak skutečně bude, bude nálezci vyplacena zvláštní odměna 100.000 USD, kterou věnovala organizace Electronic Frontier Foundation. Cena byla připravena pro objevitele prvočísla skládajícího se z více jak deseti miliónů cifer. V každém případě se nově objevené prvočíslo stane dosud největším známým prvočíslem.
Mersenn pod drobnohledem
Vraťme se k Mersennově hypotéze (viz rámeček). Hypotéza byla v následujících letech testována mnoha matematiky a postupně se podařilo odstranit chyby, které obsahovala.
V intervalu 1-257 byla vynechána celkem tři Mersennova prvočísla a naopak dvě z uvedených čísel jsou čísla složená.
Vynechána byla deváté, desáté a jedenácté Mersennovo prvočísla, tedy M61 , M89 a M107.
Složená čísla jsou naopak M67 a M257 ( číslo M67 = 2 267-1 = 193707721*761838257287 rozložil Cole roku 1903).
Důležitým kritériem, zda Mersennovo číslo je nebo není prvočíslo, je Lucas-Lehmerův test. Síla tohoto testu je mimo jiné v tom, že jej lze snadno realizovat pomocí výpočetní techniky. Právě tento test je využíván v programu, kteří dobrovolníci sdružení v GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) využívají. Podrobnosti k testu naleznete např. zde.
Tabulka všech dosud nalezených Mersennových prvočísel
Pořadí N n Cifer Rok Objevil 1 1 1 - Starověké Řecko 2 3 1 - Starověké Řecko 3 5 2 - Starověké Řecko 4 7 3 - Starověké Řecko 5 13 4 1456 ? 6 17 6 1588 Cataldi 7 19 6 1588 Cataldi 8 31 10 1772 Euler 9 61 19 1883 Pervušin 10 89 27 1911 Powers 11 107 33 1914 Powers 12 127 39 1876 Lucas 13 521 157 1952 Robinson 14 607 183 1952 Robinson 15 1279 386 1952 Robinson 16 2203 664 1952 Robinson 17 2281 687 1952 Robinson 18 3217 969 1957 Riesel 19 4253 1281 1961 Hurwitz 20 4423 1332 1961 Hurwitz 21 9689 2917 1963 Gillies 22 9941 2993 1963 Gillies 23 11213 3376 1963 Gillies 24 19937 6002 1971 Tucker 25 21701 6533 1978 Noll,Nickel 26 23209 6987 1979 Noll 27 44497 13395 1979 Nelson, Slowinski 28 86243 25962 1982 Slowinski 29 110503 33256 1988 Colquitt, Welsh 30 132049 39751 1983 Slowinski 31 216091 65050 1985 Slowinski 32 756839 227832 1992 Slowinski, Gage 33 859433 258716 1994 Slowinski, Gage 34 1257787 378623 1996 Slowinski, Gage 35 1398269 420921 1996 GIMPS (Joel Armengaud) 36 2976221 895932 1997 GIMPS (Gordon Spence) 37 3021377 909,526 1998 GIMPS (Roland Clarkson) 38 6972593 2098960 1999 GIMPS (Nayan Hajratwala) 39 13466917 4053946 2001 GIMPS (Michael Cameron) 40 ??? ??? 2003 GIMPS (? 17.11.2003!)
GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search
Adresy pro zvídavé
Mersennova prvočísla - přehled
Články k 39. Merssenovu prvočíslu zde, zde a zde
Celé 38. a 39. Mersennovo prvočíslo
Lucas-Lehmerův test
Caldwell, Chris K. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists"
Caldwell, Chris K. "Lucas-Lehmer Theorem"
Woltman, George. "38th Mersenne Prime Discovered"
Woltman, George. "Mersenne Prime Search"
