Pokud by kontroloři ministerstva vnitra procentuální chyby ze dvou kontrolních vzorků průměrovali, dospěli by u Jany Bobošíkové k odhadu chybovosti 9,6 %, u Vladimíra Dlouhého k 17,3 % a u Tomia Okamury k 21,2 %. Jak spočítal iDNES.cz, například Bobošíkové by tato chybovost stačila k překonání 50 000 hlasů. Okamura a Dlouhý by skončili těsně pod hranicí 49 000 podpisů.
To ale neznamená, že správní či ústavní soud mohou s klidným svědomím rozhodnout, aby se použil průměr, a Bobošíkovou na rozdíl od Okamury a Dlouhého do prezidentské volby pustit.
Vliv statistické chyby
Za prvé si je nutno uvědomit, že se bavíme o statistickém usuzování ze vzorku (kontrolované podpisy). To je vždy zatíženo tzv. náhodnou statistickou odchylkou. Pokud činil celkový vzorek 17 000 podpisů, Okamura jich celkem dodal 62 tisíc a chybovost ve vzorku měl 21,2 procenta, činí statistická odchylka zhruba plus minus polovinu procentního bodu. A to v případě, když chceme mít jistotu, že naše usuzování je na 95 % správné.
Takový usuzující výrok ze vzorku totiž vypadá nějak takto: "Pakliže měl Tomio Okamura ve vzorku chybu 21,2 procent, lze s 95% jistotou říct, že celkově má mezi podpisy chybovost 20,7 až 21,7 procenta." Jinak řečeno, i při tomto úsudku se v jednom z dvaceti případů (oněch 5 % nejistoty) pletu.
To už nám trochu mění situaci - neříkáme totiž, že Okamura má reálně 48 829 podpisů, ale že s 95% pravděpodobností získal mezi 48 520 a 49 140 podpisy.
Pokud chceme mít větší jistotu, musíme dále rozšiřovat interval, do něhož kandidátův zisk odhadujeme. Například s 99,9% jistotou by šlo usuzovat, že Okamura má ve skutečnosti něco mezi 48 300 a až 49 350 hlasy. Pointa je, že naprosto spolehlivě nejde statisticky vyloučit ani to, že Okamura a Dlouhý hranici 50 000 překonali, ačkoli tomu kontrolní vzorek nenapovídá.
V ideálním případě by měl zákon popisující kontroly stanovit i to, jakou musí mít stát na základě vzorků jistotu, aby mohli kandidáta vyřadit. Či z druhé strany - jak velké riziko, že kandidáta vyřadím neoprávněně, je ještě ústavně přijatelné.
Nyní se i touto úvahou bude muset zabývat soud. V našem případě jde spíš o principiální problém. Lehce si lze ale představit případ z dalších let, kdy úsudek s 95% spolehlivostí kandidáta vyřazuje, zatímco úsudek s 99% spolehlivostí mu přiznává, že 50 000 podpisů mít může.
Náhodný, nebo nenáhodný výběr?
Ještě závažnější problém jsou ale v našem případě konkrétní metody ministerských kontrol. Se statistickou chybou, jak jsem ji popsal výše, totiž lze operovat, kdyby podpisy ke kontrole byly vybrány opravdu náhodným výběrem.
Statistik Michal Škop z hnutí Kohovolit.eu už upozornil, že pokud by podpisy byly náhodně vybrány a kontrolovány shodnou metodou, bylo by krajně nepravděpodobné, aby v jednom vzorku u Jany Bobošíkové činila chybovost 7,7 % a v druhém 11,5 %. Na první pohled to možná není velký rozdíl. Pravda ovšem je, že při skutečně náhodném výběru tak velkého vzorku bychom při drtivé většině dvojtestů měli dospět k odchylce o velikosti maximálně 1 %. Podle Škopova propočtu je pravděpodobnost, že bychom se dostali k rozdílu jako u Bobošíkové, menší než jedna ku miliardě.
Je tedy zřejmé, že postup ministerstva obsahuje vlivy, díky nimž se nejedná o zcela náhodný výběr podpisů a shodný postup kontroly. Nemusí se přitom jednat o záměrné ovlivnění. Od naprosté regulérnosti vzdalují kontroly podle všeho tyto dvě věci:
Ministerstvo ke kontrole náhodně vybíralo celé archy podpisů a nikoli podpisy jednotlivě. Tím se ale právě zmenšuje síla, s jakou kontrola na vzorku vypovídá o celkové skutečné chybovosti. Lze to vysvětlit na příkladu.
Dejme tomu, že kandidát by odevzdal podpisy na 100 arších. Na 98 z nich by byly podpisy kompletně v pořádku a na dvou arších od podvodných sběračů byly všechny vymyšlené. Pokud jsou archy stejně velké, má kandidát přesně 2 % chybných podpisů. Náhodný výběr jednotlivých podpisů a jejich kontrola by směřovala k tomuto číslu a náhodně se od něj odchylovala.
A teď si představme, že úředníci ke kontrole nevyberou jednotlivé podpisy, ale celé archy. Otestují třeba deset ze stovky archů. S odlišnou pravděpodobností se dostanou ke třem výsledkům:
- do kontroly se nedostane ani jeden ze špatných archů - budou odhadovat chybovost 0 %
- do kontroly se dostane jeden ze špatných archů - budou odhadovat chybovost 10 %
- do kontroly se dostanou oba špatné archy - budou odhadovat chybovost 20 %
V žádném případě se ale nebudou přibližovat ke skutečné chybovosti 2 %.
Ve skutečnosti vliv není tak extrémní, protože kandidáti měli více než 100 archů a mírou chybovosti se mezi sebou nelišily jako v našem příkladu. Pořád ale platí, že výpovědní síla kontroly je silně omezena tím, že k ní jsou vybírány celé úseky podpisů, které mají něco společného (dělal je jeden sběrač, byly sbírány v jednu dobu, na jednom místě apod.). To je zřejmě jeden z důvodů, proč se u některých kandidátů výsledky prvního testu a druhého testu natolik liší.
Druhý a velmi zásadní problém je způsob kontroly duplicit rozhovorů - tedy zda daný člověk nepodepsal petici dvakrát. Hodně duplicitních rozhovorů měla hlavně Jana Bobošíková (celkem 418 v obou vzorcích).
Ministerstvo ve svých reportech píše: "U ztotožněných záznamů bylo dále ověřováno, zda neexistují duplicitní záznamy. Pokud ano, byly všechny záznamy s výjimkou jednoho označeny za duplicitní a neověřené." Podle všeho tedy byly zkoumány jen duplicity napříč podpisy, které byly vybrány pro kontrolu a nebyly předtím vyřazeny z jiného důvodu (např. protože daný člověk neexistuje).
Výpis výsledků u Jany Bobošíkové přitom ukazuje, že při kontrole druhého vzorku kontroloři navíc testovali i duplicitu podpisů oproti již zkontrolovaným podpisům ze vzorku prvního. To vysvětluje, proč například Bobošíková měla v prvním vzorku 81 duplicit a v druhém 337 duplicit. U Okamury to bylo 25 a 55 duplicit, u Dlouhého 21 a 46 duplicit, u Fischera 12 a 32 duplicit, u Zemana 24 a 60 duplicit. Zkrátka – v druhé kontrole bylo duplicit logicky více, protože podpisy byly podle všeho kontrolovány proti zhruba dvojnásobku ostatních podpisů než v první kontrole.
Pokud se někdo zamýšlel, proč je u většiny kandidátů chybovost v druhém vzorku obecně vyšší než v prvním, odpověď musí hledat i zde. Například u Jany Bobošíkové rozdíl v počtu duplicit vysvětluje 3 % z celkových 3,8 %, kterým se lišila chybovost v prvním a druhém vzorku.
Není to přitom nic, z čeho by se kandidáti měli radovat. Pokud by totiž ministerstvo zkontrolovalo podpisy všechny, bylo by pravděpodobně procento duplicit mnohem vyšší – každý podpis by totiž byl porovnáván s mnohem vyšším počtem "konkurenčních" podpisů. Zejména pro Janu Bobošíkovou to znamená problém. Duplicit má totiž už v kontrolních vzorcích tolik, že při kontrole všech podpisů by ji mohly stát kandidaturu.
Férové řešení: Celková kontrola tří kandidátů
Možných vlivů je samozřejmě více než tyto dva. Už teď je ale jasné, že systematické vychýlení způsobem výběru a metodou kontrol je takové, že v kombinaci s náhodnou statistickou chybou nelze přinejmenším u Tomia Okamury, Vladimíra Dlouhého a Jany Bobošíkové seriózně odhadovat, zda ve skutečnosti 50 000 podpisů mají či ne.
Je pravděpodobné, že reálně sebrali něco mezi 45 000 a 52 000 platnými podpisy. Kolik přesně to je, by ale před kontrolou všech podpisů neodhadl ani Nate Silver, analytik, který nedávno u všech amerických států přesně předpověděl, zda budou volit Baracka Obamu nebo Mitta Romneyho.
Proto si myslím, že pokud správní či ústavní soud nebudou zkoumat jen formální naplnění prováděcího zákona (průměrovat místo sčítat), logika věci a spravedlnost velí, že minimálně u třech hraničních a vyloučených kandidátů (Bobošíková, Dlouhý, Okamura) by měl soud nařídit přezkum všech dodaných podpisů.
