V diskuzi o ruletě jsme se setkali s omylem, který si zasluhuje podrobnější pozornost. Ukazuje totiž, proč jsou lidé schopni věřit zdánlivě logickým, ale ve skutečnosti mylným závěrům.
Mýtus: Když padne vícekrát červená, musí pak začít více padat černá, jinak by došlo k narušení pravděpodobnosti podle zákona velkých čísel.
Realita: Pravděpodobnost jevu se dá pozorovat a měřit a opakované měření vede k přesnějšímu odhadu této pravděpodobnosti. To ale neznamená, že se mince nebo ruleta „snaží vyrovnat své předchozí anomálie“.
Zákon velkých číselJde o matematický koncept, respektive tvrzení, které říká, že posloupnost náhodných veličin bude konvergovat k jejich teoretickému průměru. Tedy například čím vícekrát hodíme mincí, tím více se bude celkový poměr padlých panen a orlů blížit 0,5. Je důležité si uvědomit, že zákon velkých čísel se týká „velkého počtu pokusů“. Nelze tedy vyvozovat závěry na základě několika pokusů či omezeného vzorku pozorování. |
A co na to všechno „zákon velkých čísel“? Někteří diskutující nás i sebe zkoušeli přesvědčit o tom, že je rozdíl mezi statistickým a pravděpodobnostním pohledem: „Z hlediska pravděpodobnosti sice ruleta žádnou paměť nemá, ale z hlediska statistiky ano. Statisticky vzato totiž musí vycházet počet černých a červených čísel 1:1. Pokud určím začátek na první černou a ta po sobě padne desetkrát, tak je ten poměr 10:0, což do určité míry té statistice odporuje a ten poměr se musí v dalších hodech nějak vyrovnat. Minimálně by měla padat víc červená, jinak s ruletou není něco v pořádku.“
Grafická demonstrace zákona velkých čísel. Nahoře vidíme tzv. Brownův pohyb jedné molekuly. Je náhodný a nevidíme prakticky žádnou pravidelnost. Uprostřed vidíme desítky molekul. Na spodním obrázku vidíme statisíce molekul, a přestože pohyb jednotlivých molekul je stále náhodný, dohromady lze popsat průběh rozpouštění látek s velkou přesností.
Omyly jsou zde minimálně dva. Jednak čtenář předpokládá, že ruletě nějak záleží na tom, jestli padá černá nebo červená. Samozřejmě nezáleží, ruleta nemá vůli ani paměť. A za druhé je zde omyl s tím „odporováním statistice“. Statistika rozhodně neříká, že poměr červené a černé (když zanedbáme nulu či nuly) bude vždy přesně jedna k jedné. Zjednodušeně můžeme pouze říci, že čím více hodů budeme analyzovat, tím větší je šance, že se poměr bude k 50 % blížit.
Zákon velkých čísel ale není žádný „vymahatelný“ zákon, je to spíše užitečná poučka, která říká, že čím vícekrát nějaké měření stejného jevu opakujeme, tím větší je šance, že naše pozorování není anomálie. Stále ale pracujeme s pravděpodobnostmi, takže zákon velkých čísel nemluví o žádné jistotě.
Spočítání pravděpodobnosti není předpovídání budoucnosti
Vraťme se ještě jednou k naší férové minci. Tentokrát si s ní hodíme osmkrát a zaznamenáme popořadě všechny výsledky. Vyjde nám jedna z následujících možností:
Všech 256 možnosti výsledků osmi hodů mincí (Panna/Orel)
Jak už víme, každá z těchto možností má stejnou šanci. Pokud ale rozepíšeme jednotlivé variace podle kombinace počtu panen a orlů, dostaneme pěkně souměrný rozpis:
| Kombinace | Počet kombinací | Šance |
|---|---|---|
| jenom panny | 1 | 0,39 % |
| 1 panna, 7 orlů | 8 | 3,13 % |
| 2 panny, 6 orlů | 28 | 10,94 % |
| 3 panny, 5 orlů | 56 | 21,88 % |
| 4 panny, 4 orli | 70 | 27,34 % |
| 5 panen, 3 orli | 56 | 21,88 % |
| 6 panen, 2 orli | 28 | 10,94 % |
| 7 panen, 1 orel | 8 | 3,13 % |
| jenom orlové | 1 | 0,39 % |
Je tedy vidět, že pravděpodobnost řady osmi panen je velmi malá (1/256), protože je to pouze jedna z možností. Zato šance, že bude z osmi pokusů přesně půlka orel a půlka panna, je více než čtvrtinová (70/256).
WolframAlpha usnadňuje počítání s pravděpodobnostmi
I když počet pokusů stoupá, nepatrně při tom klesá šance, že bude podíl panen a orlů přesně vyrovnaný. Je tedy evidentní, že zákon velkých čísel neříká, že se „vesmír postará o dokonalou vyváženost“, ale spíše ukazuje, že „čím více opakování, tím menší šance, že naměříte jen extrémy“, v tomto případě jen orly nebo jen panny.
Dalším způsobem, jak demonstrovat zákon velkých čísel, je vizualizovat si výsledky hodů mincí. Následující graf ukazuje, jak vypadá sto hodů deseti mincemi. Každá čára znázorňuje dosavadní podíl orlů na té dané minci:
Zákon velkých čísel - ilustrace
Je vidět, že čím déle házíme, tím spíše se podíl blíží 0,5, což odpovídá teoretické pravděpodobnosti orla (50 %). A pokud se podíváme na všechny řady a jejich průměr (například v tomto interaktivním grafu), je zřejmé, že čím více měření, tím více se blížíme k 0,5. To je zákon velkých čísel v praxi.
Průměr všech řad je znázorněn tlustou modrou čarou. Při přejetí myší nad grafem můžete zobrazit konkrétní hodnoty. Zdrojová data jsou zde.
Tím jsme si osvěžili některé základní zákony pravděpodobnosti:
- výsledek každého hodu mincí nebo tah (spin) v ruletě je nezávislý na těch předchozích
- každá jednotlivá variace výsledků má stejnou šanci jako jakákoli jiná
Nyní se tedy již můžeme podívat na nejznámější mýtus, který z hráčského paradoxu vychází: systém sázení zvaný Martingale.
Nenechte se ožebračit: Vyvracíme mýty a omyly o ruletěČlánek jsme rozdělili do pěti kapitol
|
