Středa 8. prosince 2021, svátek má Květoslava
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Středa 8. prosince 2021 Květoslava

Stačí jen pár lidí a riziko nákazy vyletí. Matematika pandemie je zrádná

Čím víc lidí pohromadě, tím větší riziko nákazy. Tomu zřejmě už rozumí každý. Jak rychle ale roste riziko nákazy s narůstajícím počtem lidí? Jednoduše řečeno: jinak, než nám napovídá intuice. Ani v této pandemické otázce se našemu „citu pro čísla“ a „selskému rozumu“ nedá příliš věřit.

Kolik lidí je na oslavě nakažených? A jaká je šance, že není ani jeden? | foto: montáž: Technet.cz

Představte si, že se chystáte uspořádat během probíhající epidemie oslavu narozenin. Žijete ve městě, kde je zhruba 1,2 milionu obyvatel. Říkejme mu třeba Praha. Ve městě zrovna nabírá na síle další vlna pandemie, například onemocnění covid-19.

Řekněme, že je v hypotetickém městě přibližně 60 tisíc nakažených, kteří o sobě ještě neví, že jsou nakažení (jde o hypotetický odhad pro potřeby našeho příkladu, skutečné číslo může být nižší i mnohem vyšší).

Chcete být opatrní, a tak nehodláte dělat žádnou velkou akci. Pozvete jen kamarády, které jste dlouho neviděli, ne víc než 20 lidí. Jaká je šance, že zrovna mezi těmi 20 lidmi z toho obrovského města bude někdo nakažený?

Pokud si říkáte, že je ta šance celkem malá, pak… se mýlíte. Pravděpodobnost bude kolem 64 procent. Pravděpodobnost totiž roste s počtem účastníků překvapivě rychle.

A pokud byste si mysleli, že při deseti účastnících bude pravděpodobnost přítomnosti někoho nakaženého 32 procent, pletli byste se znovu. Vyzkoušejte si v našem interaktivním nástroji. Posuvníkem můžete nastavit počet hostů a procento nakažených ve městě.

Pravděpodobnost přítomnosti nakaženého
Spočítejte si, jaké jsou šance, že je mezi účastníky akce alespoň jeden nakažený člověk.
Mezi 10 lidmi alespoň jeden nakažený s 90 % pravděpodobností.
Předpokládáme 1 % nakažených mimo karanténu a náhodný výběr hostů.
Velikost populace (například města):
Počet lidí, kteří jsou nakažení a nejsou v karanténě:
více nastavení
Toto není simulace nákazy. Slouží jen pro ilustraci principu.

Jak je možné, že ta pravděpodobnost roste tak nepravidelně? Může za to vcelku neintuitivní sčítání pravděpodobností. Když sčítáme pravděpodobnosti, postupujeme v tomto případě opačně: počítáme, s jakou pravděpodobností se to nestane, a pak výsledek odečteme od 100 %.

Ukázka sčítání pravděpodobnosti

Epidemie je komplikovaný příklad. Uvažujme na chvíli šestistranné hrací kostky. Na nich bude sčítání pravděpodobností o trochu zjevnější.

Jaká je šance, že na jedné kostce hodíte šestku?
Tady je odpověď jednoduchá. Na kostce padne jedna ze šesti variant: 1, 2, 3, 4, 5, 6. A všechny mají – u férové kostky – stejnou šanci. Tedy pravděpodobnost šestky je jedna šestina (1/6, tedy po zaokrouhlení přibližně 16,7 %).

Jaká je šance, že na dvou kostkách padne alespoň jedna šestka?
Napřed se podívejme na cestu, která k výsledku určitě nevede: nemůžeme sečíst obě pravděpodobnosti. Nemůžeme sečíst 1/6 + 1/6 = 2/6. Proč ne? Stačí se podívat, že by to vedlo k absurdnímu výsledku: pro šest kostek by přece vycházela šance šest šestin, tedy 100 %. Přitom je jasné, že při hodu šesti kostkami nemusí padnout ani jedna šestka.

Podívejme se místo toho, jaké všechny varianty nám mohou na dvou kostkách padnout: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66. To je celkem 36 variant (6 × 6). Z nich přesně 11 vyhovuje hledané podmínce „alespoň jedna šestka“: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66.

Tedy odpověď na naši otázku je 11/36 = 30,6 %.

Mohli bychom k výsledku dospět nějak jednodušeji? Ano – tady se dostaneme k našemu sčítání pravděpodobností. Mohli bychom vynásobit pravděpodobnosti, že nenastala hledaná situace.

Jaká je šance, že na jedné kostce nepadla šestka? Pochopitelně 5/6 (pět šestin). Šance, že na dvou kostkách nepadla šestka, je 5/6 × 5/6, což je 25/36.

Teď víme, jaká je šance, že na dvou kostkách padla alespoň jedna šestka: je to přesný opak 25/36, tedy zbytek do jedničky (do 100 %). A to je oněch 11/36, ke kterým jsme došli předtím.

Výhoda je, že při násobení negativní pravděpodobnosti (pravděpodobnosti, že k danému jevu nedošlo) se dostaneme k jednoduchému obecnému řešení.

Jaká je šance, že když hodím X kostek, bude alespoň na jedné šestka?
Právě když hledáme obecné řešení, hodí se nám násobení těch „zbytků“ pravděpodobností. Každá další kostka sníží šanci, že nepadla šestka, o jednu šestinu. Tedy pro každou další kostku musíme vynásobit pravděpodobnost, že nepadla šestka, zlomkem 5/6.

Řešením naší obecné hádanky je tedy 1 - (5/6)×(5/6)×(5/6)×(5/6)...×(5/6) pro každou x-tou kostku, tedy obecně 1 - (5/6)^x.

Pro tři kostky je šance alespoň jedné šestky 42 %. Pro šest kostek je to 77 %. Pro deset kostek 84 %. Pro dvacet kostek 97 % atd.

Každá další kostka „ukrajuje“ šestinový kousek z pravděpodobnosti. Nikdy ale s konečným počtem kostek nedojde ke zmenšení pravděpodobnosti na nulu (vždy je šance, že nepadne ani jedna šestka, jen je to stále méně pravděpodobné).

Zobrazit více
Sbalit

Pravděpodobnost, že konkrétní host je nakažený, je rovna počtu nakažených ve městě vydělenému počtem všech obyvatel města. Označme toto číslo p. Šance, že tento člověk nakažen není, je 1-p.

Proč je to tak neintuitivní?

Šance, že ani jeden z dvojice vybraných hostů není nakažený, je (1-p)×(1-p). Násobíme proto, že pracujeme s pravděpodobnostmi, nikoli s absolutními čísly. (Puntíčkář zde může namítnout, že pravděpodobnost, že druhý host je infekční, není roven přesně p, ale počtu nakažených vydělenému počtem obyvatel města mínus jedna, nicméně tento rozdíl je při rozumné velikosti města a rozumně malé party zanedbatelný.)

Když takto pokračujeme dále, dostaneme, že šance, že není nakažen nikdo, je (1-p)počet_hostů. Pravděpodobnost, že alespoň jeden je nakažený, je 1-(1-p)počet_hostů.

Pro naše původní předpoklady o situaci ve městě tak můžeme poměrně snadno vytvořit následující graf. Na něm je vidět, jak rychle s počtem hostů stoupá pravděpodobnost, že přijde alespoň jeden nakažený.

Přijde někdo nakažený?
Počet hostů kromě mnePravěpodobnost, že alespoň jeden host je nakažený (%)
15.00%
29.75%
522.62%
1040.13%
2064.15%
3078.54%
4087.15%
5092.31%
6095.39%
7097.24%
8098.35%
9099.01%
10099.41%

Vidíme, že riziko roste velmi rychle – právě z tohoto pohledu dává epidemiologické opatření vázané na nízké počty lidí na jednom místě smysl. Může se vám zdát, že je celý příklad poněkud přitažený za vlasy a že v Praze přece nemáme 60 tisíc nakažených, ale méně. Řekněme optimisticky, že je to polovina, tedy 30 tisíc.

Jenže poloviční počet nakažených neznamená, že se nám zmenší riziko v dvacetičlenné skupině o polovinu. Ve skutečnosti klesne „jen“ na přibližně 40 %. Vyzkoušet si to můžete v našem interaktivním prvku výše.

Co z toho všeho plyne prakticky?

  1. Pokud jde o teorii pravděpodobnosti, tak nikdy nevěřte své intuici. Raději si sedněte a počítejte. Často se tam skrývá chyták, který je zjevný až poté, co si čísla zanesete do grafu.
  2. Pokud jde o epidemii, tak teď možná lépe vidíte, proč i při relativně malém počtu nakažených je třeba sáhnout po tak drakonických opatřeních, jaká vidíme i u nás.

Zůstaňte tedy doma a neplánujte žádnou party. Momentálně je to to nejlepší, co můžete udělat.

Skutečný „narozeninový paradox“

Podobně, ale trochu jinak, se počítá slavná hádanka pracující nikoli s nákazou, ale s datem narození.

Řekněme, že chceme určit pravděpodobnosti, že v nějaké skupině mají alespoň dva lidé narozeniny ve stejný den a měsíc. V této variantě vstupuje do hry „chyták“, který u nákazy řešit nemusíme.

Jaká je pravděpodobnost „narozeninové shody“, když skupina čítá dva lidi?

Nebudete asi překvapení, tohle číslo je malé a činí pouze 0,27 %. Protože první z nich může mít narozeniny kdykoli z 365 dní v roce a ten druhý kdykoli kromě jednoho dne, kdy se narodil ten první. Pro výpočet nám tak stačí spočítat 365/365 × 364/365 a získáme pravděpodobnost, že mají v narozeniny v různé dny.

Pokud tuto hodnotu odečteme od jedničky, dostaneme výsledek pro pravděpodobnost, že je mají ve stejný den. Pokud chceme vědět, jaká je pravděpodobnost pro tři účastníky, opakujeme celý postup pro tři účastníky a tak dále.

Jaká je šance, že ve skupině X lidí mají alespoň dva stejné narozeniny?

Protože ve skupině je čím dál více lidí, nepočítáme jen shodu „má narozeniny ve stejný den, jako určitá osoba“, ale namísto toho hledáme odpověď na otázku „má každá osoba ve skupině unikátní datum narození“?

Ta pravděpodobnost je zpočátku stále malá. Jenže pak to celé vezme rychlý spád a při skupině 23 lidí jsme již na pravděpodobnosti 50,73 %. A logicky dosáhneme 100% hranice v moment, kdy je účastníků 366 (nebo 367, počítáme-li s přestupnými roky), protože pak už není ani teoreticky možné, aby alespoň dva lidé neměli stejné datum narozenin.

Celou tabulku včetně vzorců naleznete třeba na Wikipedii v rámci hesla Birthday problem.

Zobrazit více
Sbalit

Text vznikl pro web Centra pro modelování biologických a společenských procesů a byl převzat se svolením autorů. Před vydáním byl redakčně upraven. Doplnili jsme interaktivní počítadlo a vysvětlení některých principů. Originál najdete zde.

Autor:
  • Nejčtenější

Silná sluneční bouře může uvrhnout do tmy celé kontinenty, varuje vědkyně

Koronavirová pandemie nám ukázala, že nejsme na podobnou krizi připraveni. Podle amerických vědců bychom na tom byli...

Útok na Pearl Harbor: Taktické vítězství a strategický průšvih Japonska

Při posuzování vojenských akcí se vždy zohledňuje několik hledisek. Minimálně taktické, operační a strategické. V řadě...

Maličké hi-fi do maličkých bytů. Vyzkoušeli jsme česko-britskou kombinaci

Moderní, elegantní a velmi dobře hrající. Vyzkoušeli jsme maličký streamer se zesilovačem Arcam Solo Uno a regálové...

Když začínaly ČSD s elektrikou, nasadily i lokomotivy „na baterky“

Již na počátku dvacátých let začali uvažovat progresivní činitelé o zavádění elektrické trakce na hlavních tratích ČSD....

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Pomalý vývoj motoru Raptor stál místo významného inženýra SpaceX

Elon Musk není spokojen s rychlostí vývoje motorů Raptor a to byl patrně důvod, proč společnost opustil inženýr, který...

TEST: Hodinky místo mobilu děti pohlídají i zabaví

Premium Co umějí chytré hodinky se SIM kartou pro děti? Nahradí mobil. Dá se na ně dovolat a většinou i sledovat jejich polohu...

Opatření bojkotuje stále více lidí, cítí se podvedeni, říká psycholog

Premium Doba covidová je už dlouhá. Zatímco při první vlně epidemie byli lidé v Česku většinou ukázkově disciplinovaní, nyní je...

Velké dilema třetí dávky: míchat, či nemíchat vakcíny?

Premium Posilující dávka očkování naráží na možnost volby. Řada Čechů řeší, kterou vakcínou si nechat svoji imunitu proti...

  • Další z rubriky

STO OBJEVŮ: Kalašnikov je zbraň, která postřílela nejvíc lidí na světě

Seriál Žádnou jinou zbraní nebylo zastřeleno tolik lidí. Po celém světě rozšířená sovětská útočná puška AK-47 vzbuzuje...

Fosilie, které „zapomněly“ zkamenět, možná otevřou dveře k Jurskému parku

O možném dochování původního organického materiálu či jeho extrémně dobře zachovaných „otiscích“ ve fosilním záznamu se...

STO OBJEVŮ: Kouzlo stříbrného plátna pobláznilo masy. Kino máme 130 let

Seriál Do biografu chodíme sotva 130 let. Vzpomeňte si na to, až si v předsálí multikina koupíte šustivý sáček popcornu a...

STO OBJEVŮ: Titěrný, ale převratný objev umožnil vložit oheň do kapsy

Seriál Zápalka, nebo sirka? Platí obojí. Vynález to byl nenápadný, ovšem bez něj bychom možná dodnes při rozdělávání ohně...

Žilková: Byla jsem těhotná s Menzelem, potrat byl pro mě rozvodem s Bohem

Veronika Žilková překvapila informací o tom, že kdysi čekala dítě s Jiřím Menzelem. O nevěře manžela, vztahu s...

Moje tetování nad rozkrokem vyznívá vulgárně, stěžovala si paní

Nebylo tak úplně promyšleno, kvůli přemíře alkoholu vlastně nebylo ani zamýšleno. Tetování vyznívá explicitně sexuálně,...

Psychopati za volantem: pozor na dodávky, elektromobily a bouráky dvou značek

Beránci ve škodovkách a predátoři v bavorácích? Výběr auta o vás může prozradit víc, než byste možná chtěli. Ať už se...

Měli jsme zůstat točit v Sydney, říká Chris Hemsworth o práci v Praze

Australský herec Chris Hemsworth (38) v Praze natáčí pokračování akčního filmu Vyproštěn. V české metropoli by měl štáb...

Syna jsem viděl, když mu byly tři. Pak až v jeho padesáti, říká Ladislav Frej

Premium „Po představení neusnu. Je půl třetí ráno, sedím v kuchyni, chroustám piškoty bez lepku, piju mlíko a mudruju, co jsem...