Pátek 23. října 2020, svátek má Teodor, Theodor
  • schránka
  • Přihlásit Můj účet
  • Pátek 23. října 2020 Teodor, Theodor

Exponenciální růst mate i experty. Vyzkoušejte si, čím je tak nebezpečný

  9:00
S nárůstem infekcí covid-19 se v Česku znovu mluví o exponenciálním růstu. A řada lidí – včetně expertů – toto spojení používá špatně. Přitom pochopení tohoto matematického pojmu je klíčové k porozumění tomu, jak se šíří epidemie. A proč i malá změna má časem nečekaně velké dopady.

Exponenciální růst je neintuitivní. Je ale důležité jej pochopit. | foto: montáž: Technet.cz

Jak se to mohlo tak rychle obrátit? Ještě v srpnu se představitelé státu (a nejen oni) chlubili tím, že jsme pandemii zvládli skvěle. Teď znovu přijímáme omezení veřejného života, která se nepochybně neobejdou bez ekonomických následků. A v nemocnicích přibývá nakažených. Jak mezi hospitalizovanými, tak i mezi personálem. Do středu pozornosti se znovu dostává pojem „exponenciální růst“. 

Nabízíme čtenářům možnost vyzkoušet si, v čem spočívá zrádnost exponenciálního růstu. Pokusili jsme se jít nad rámec často omílaného příběhu se zrníčky na šachovnici, který je sice zajímavý, ale k pochopení moc nepřispěje. Vyzkoušejte si místo toho, jaký odhad na exponenciální růst máte u něčeho představitelnějšího. Dokážete odhadnout, jak rychle se budou na hladině jezera množit imaginární lekníny?

Exponenciální růst – ukázka
Řekněme, že máme na začátku 100 leknínů.
Každý den se jejich počet zdvojnásobí.
Na grafu sledujte, jak jejich počet exponenciálně roste.
Den: 1, Leknínů: 100
Toto není simulace nákazy. Slouží jen pro ilustraci exponenciálního růstu.


Jak jste viděli, když se exponenciální růst skutečně „rozběhne“, jeho tempo je závratné. A právě to se stalo evidentně v září v ČR ohledně šíření nákazy: počet odhalených případů stoupal zdánlivě nepochopitelně rychle. Rychleji, než její šíření stačily testy zaznamenávat.

Denní přírůstky potvrzených nákaz covid-19 v Česku
datumpočet nových případů
Česká republika
1.7.181
2.7.187
3.7.183
4.7.163
5.7.130
6.7.109
7.7.104
8.7.110
9.7.106
10.7.106
11.7.96
12.7.94
13.7.96
14.7.94
15.7.94
16.7.99
17.7.97
18.7.106
19.7.110
20.7.123
21.7.140
22.7.156
23.7.170
24.7.191
25.7.194
26.7.197
27.7.203
28.7.211
29.7.218
30.7.220
31.7.213
1.8.212
2.8.211
3.8.213
4.8.212
5.8.205
6.8.200
7.8.212
8.8.219
9.8.222
10.8.212
11.8.214
12.8.221
13.8.237
14.8.233
15.8.237
16.8.237
17.8.244
18.8.243
19.8.246
20.8.235
21.8.265
22.8.271
23.8.273
24.8.283
25.8.295
26.8.308
27.8.322
28.8.318
29.8.329
30.8.349
31.8.348
1.9.367
2.9.403
3.9.450
4.9.496
5.9.523
6.9.541
7.9.585
8.9.680
9.9.752
10.9.852
11.9.944
12.9.1093
13.9.1147
14.9.1215
15.9.1288
16.9.1428
17.9.1677
18.9.1772
19.9.1844
20.9.1865
21.9.1935
22.9.2037

Jakým tempem přesně? Ústav zdravotnických informací a statistiky přišel 15. září s odhadem, že index nakažlivosti (případně také základní reprodukční číslo, čili R0) se pohyboval v Česku kolem 1,6. Což se obecně vykládá tak, že jeden nakažený nakazil 1,6 dalšího člověka. Snad ještě názorněji to znamená, že počet nakažených by se měl přibližně 1,6krát zvýšit v pravidelných, zhruba pětidenních intervalech.Tedy právě onen exponenciální růst.

Výše jste si vyzkoušeli, jak rychlý je exponenciální růst s koeficientem dva. Dvojnásobení jde opravdu překvapivě rychle. Ale nemusí se opakovaně násobit zrovna dvojkou. Exponenciální růst popisuje libovolnou situaci, kdy je koeficient (kterým číslo opakovaně násobíme) vyšší než jedna.

Můžete si sami vyzkoušet, jak rychle v takovém případě i z nízké výchozí hodnoty mohou počty případů nákazy nemocných vyrůst.

Exponenciální růst s různými koeficienty
Vyzkoušejte si, jak různé koeficienty ovlivňují exponenciální růst:
Ze 100 při koeficientu 1,10 po 10 cyklech bude 259.
Součet všech 10 cyklů je 1 852.
Ze 100 při koeficientu 1,00 po 10 cyklech bude 100.
Součet všech 10 cyklů je 1 852.
Nejvyšší číslo obou řad se liší o , což je .
Rozdíl obou součtů je , což je .
Rozdíl koeficientů je přitom .
Toto není simulace nákazy. Slouží jen pro ilustraci exponenciálního růstu.

Zde si můžete vyzkoušet, že poměrně malá změna koeficientu se po větším počtu kroků projeví nečekaně razantně. Pokud se tedy například reprodukční číslo z hodnoty kolem 1,6 podaří snížit na 1,3, bude to mít na vývoj situace větší vliv, než bychom intuitivně čekali.

Můžete si to vyzkoušet: porovnejte v grafu obě hodnoty.

Exponenciální růst je neintuitivní i pro experty

Exponenciální růst je matematický pojem, a většina lidí jej od školy moc často nepoužije. Rok 2020 je ale výjimkou. Nakažlivé nemoci se totiž šíří způsobem, který popisuje právě exponenciální křivka. A tak se od března setkáváme s tímto termínem i ve veřejném prostoru. Ne vždy správně.

Například když média citovala Ladislava Duška, ředitele ÚZIS: „Minulý týden bylo reprodukční číslo 1,35 a to bylo lineární, nikoli exponenciální šíření.“ Nebo když Roman Prymula 9. září mluvil v ČRo o potřebě „zbrzdit ten nárůst, aby opravdu nešlo o exponenciální růst, ale jenom o lineární.“

Možná je to jen důsledek snahy o zjednodušení, ale obě tato vyjádření proti sobě staví exponeciální a lineární růst. Ve skutečnosti ovšem bude růst počtu nákaz vždy ze samotné podstaty věci exponenciální. Tak totiž infekce fungují. Šíří se decentralizovaně, z lidí na lidi. Takže i infekce, která se šíří pomalu, se ve skutečnosti šíří „exponenciálně“. Jen je její koeficient (reprodukční číslo) tak blízké číslu 1, že se nám může zdát růst lineární. A i epidemie, která ustupuje, pořád roste exponenciálně, jen je koeficient menší než 1.

Exponenciální růst záleží na chování lidí

Oba naše nástroje doufáme přiblížily, v čem spočívá exponenciální růst. Nejde ale o simulátor nebo predikci nákazy. Ta se totiž přeci jen chová jinak. Reprodukční číslo není napevno určené. Je výsledkem biologie viru, ale i chování lidí.

A lidé své chování v reakci na šíření viru mění a ještě určitě měnit budou. Náš interaktivní graf jednoduše „protahuje“ zvolený růst. V realitě to tak ale doufejme v Česku probíhat nebude. Na to máme příliš mnoho informací, především díky testování. V Lombardii v březnu 2020 to bylo jiné...

Nákaza nicméně o svou schopnost šířit se exponenciálně nepřijde. Exponenciální růst bude trvat, dokud bude mít virus dostatek vhodných cílů. To by se v průběhu příštího roku snad mělo změnit s příchodem vakcíny a případně i dalších nástrojů, například skutečně levných testů.

Cíl vlastně není daleko. Ale není ani tak blízko, aby nám exponenciální růst nemohl ještě několikrát předvést, co svede. Letošní září – a v jeho důsledku i říjen – by jako připomenutí snad mohly stačit.

Autoři:
  • Nejčtenější

Tragické a vzácné. Vědci potvrdili první úmrtí na reinfekci koronavirem

V Nizozemsku vědci zaznamenali případ úmrtí ženy, která se podruhé nakazila virem SARS-CoV-2. Jak naznačují i okolnosti...

Nenaplněný příběh nejrychlejší stíhačky světa YF-12A ze Skunčích dílen

Špionážní letoun Lockheed A-12 pro CIA posloužil jako platforma pro připravovanou záchytnou stíhačku létající...

Stačí jen pár lidí a riziko nákazy vyletí. Matematika pandemie je zrádná

Čím víc lidí pohromadě, tím větší riziko nákazy. Tomu zřejmě už rozumí každý. Jak rychle ale roste riziko nákazy s...

Messenger od Facebooku se mění. Má nové logo i funkce, ale nelíbí se všem

Uživatele tento týden přivítalo nové logo komunikační aplikace Messenger. Naznačuje tím, že se pokračuje v ohlašovaném...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Tři ohořelé kostry v poušti. Jak skončil největší letecký únos

Po rekordním leteckém únosu, který provedly palestinské organizace v září 1970, zůstaly v jordánské poušti tři zničené...

Po čtyřicítce žijeme na vypůjčený čas, říká lékař David Sedmera

Premium Lidské tělo je velmi přesný a dokonalý mechanismus. V některých směrech až zázračný. Proč je však uspořádání těla...

Jak vyležet ‚lehký covid‘. Praktičtí lékaři radí, jak na samoléčbu

Premium Tak jako jiné virózy i obávaný covid-19, pokud zaútočí jen v mírné či střední síle, se musí doma prostě a jednoduše...

Shromáždění vlastníků jsou kvůli pandemii v ohrožení. Právník radí, co dělat

Premium Vyhlášení nouzového stavu komplikuje situaci společenstvím vlastníků bytových jednotek. Do konce roku musí totiž výbory...

  • Další z rubriky

Tragické a vzácné. Vědci potvrdili první úmrtí na reinfekci koronavirem

V Nizozemsku vědci zaznamenali případ úmrtí ženy, která se podruhé nakazila virem SARS-CoV-2. Jak naznačují i okolnosti...

Proč Prymulovi záleží na desetinách? Ověřte si, jaký je to průšvih

I přes opatření zavedená v září se rychlost šíření nákazy zvýšila. Sice na první pohled o málo, jen o jednu desetinu,...

V Česku teď můžeme mít až 700 tisíc covid pozitivních, domnívá se neurobiolog

Promořování společnosti je hazard a tvrdit, že se musíme s koronavirem naučit dalších 10 let žít, je nerozum. V...

NÁZOR: Dinosaurus za tři čtvrtě miliardy je prohra pro vědu

Uzavírání zkamenělin do soukromých sbírek je nebezpečný trend. A kupodivu snad ještě nebezpečnější u těch zkamenělin,...

Cukrářka Iveta Fabešová se rozvádí. Přišla o své provozovny

Cukrářka Iveta Fabešová (36) se na sociálních sítích svým fanouškům svěřila, že se s manželem rozvádějí. Kvůli tomu...

V 47 letech zemřela herečka Daniela Krhutová, pohádková Marie Růžička

Po dlouhé nemoci zemřela herečka a zpěvačka Daniela Krhutová, bylo jí 47 let. Její nejznámější rolí byla Marie Růžička...

Po čtyřicítce žijeme na vypůjčený čas, říká lékař David Sedmera

Premium Lidské tělo je velmi přesný a dokonalý mechanismus. V některých směrech až zázračný. Proč je však uspořádání těla...

N-word jsem měla vypustit, omluvila se z rasismu nařčená Čvančarová

Jitka Čvančarová (42) se ocitla pod palbou kritiky mnoha uživatelů sociálních sítí. Při imitování raperky Cardi B v...

Tři týdny a konec. Prodloužení restrikcí by nás zničilo, tvrdí obchodníci

Vládní rozhodnutí o uzavření obchodů a služeb jejich provozovatele rozzlobilo, přestože většina z nich tento krok...