Premium

Získejte všechny články
jen za 89 Kč/měsíc

Exponenciální růst mate i experty. Vyzkoušejte si, čím je tak nebezpečný

  9:00
S nárůstem infekcí covid-19 se v Česku znovu mluví o exponenciálním růstu. A řada lidí – včetně expertů – toto spojení používá špatně. Přitom pochopení tohoto matematického pojmu je klíčové k porozumění tomu, jak se šíří epidemie. A proč i malá změna má časem nečekaně velké dopady.

Exponenciální růst je neintuitivní. Je ale důležité jej pochopit. | foto: montáž: Technet.cz

Jak se to mohlo tak rychle obrátit? Ještě v srpnu se představitelé státu (a nejen oni) chlubili tím, že jsme pandemii zvládli skvěle. Teď znovu přijímáme omezení veřejného života, která se nepochybně neobejdou bez ekonomických následků. A v nemocnicích přibývá nakažených. Jak mezi hospitalizovanými, tak i mezi personálem. Do středu pozornosti se znovu dostává pojem „exponenciální růst“. 

Nabízíme čtenářům možnost vyzkoušet si, v čem spočívá zrádnost exponenciálního růstu. Pokusili jsme se jít nad rámec často omílaného příběhu se zrníčky na šachovnici, který je sice zajímavý, ale k pochopení moc nepřispěje. Vyzkoušejte si místo toho, jaký odhad na exponenciální růst máte u něčeho představitelnějšího. Dokážete odhadnout, jak rychle se budou na hladině jezera množit imaginární lekníny?

Exponenciální růst – ukázka
Řekněme, že máme na začátku 100 leknínů.
Každý den se jejich počet zdvojnásobí.
Na grafu sledujte, jak jejich počet exponenciálně roste.
Den: 1, Leknínů: 100
Toto není simulace nákazy. Slouží jen pro ilustraci exponenciálního růstu.


Jak jste viděli, když se exponenciální růst skutečně „rozběhne“, jeho tempo je závratné. A právě to se stalo evidentně v září v ČR ohledně šíření nákazy: počet odhalených případů stoupal zdánlivě nepochopitelně rychle. Rychleji, než její šíření stačily testy zaznamenávat.

Denní přírůstky potvrzených nákaz covid-19 v Česku
datumpočet nových případů
Česká republika
1.7.181
2.7.187
3.7.183
4.7.163
5.7.130
6.7.109
7.7.104
8.7.110
9.7.106
10.7.106
11.7.96
12.7.94
13.7.96
14.7.94
15.7.94
16.7.99
17.7.97
18.7.106
19.7.110
20.7.123
21.7.140
22.7.156
23.7.170
24.7.191
25.7.194
26.7.197
27.7.203
28.7.211
29.7.218
30.7.220
31.7.213
1.8.212
2.8.211
3.8.213
4.8.212
5.8.205
6.8.200
7.8.212
8.8.219
9.8.222
10.8.212
11.8.214
12.8.221
13.8.237
14.8.233
15.8.237
16.8.237
17.8.244
18.8.243
19.8.246
20.8.235
21.8.265
22.8.271
23.8.273
24.8.283
25.8.295
26.8.308
27.8.322
28.8.318
29.8.329
30.8.349
31.8.348
1.9.367
2.9.403
3.9.450
4.9.496
5.9.523
6.9.541
7.9.585
8.9.680
9.9.752
10.9.852
11.9.944
12.9.1093
13.9.1147
14.9.1215
15.9.1288
16.9.1428
17.9.1677
18.9.1772
19.9.1844
20.9.1865
21.9.1935
22.9.2037

Jakým tempem přesně? Ústav zdravotnických informací a statistiky přišel 15. září s odhadem, že index nakažlivosti (případně také základní reprodukční číslo, čili R0) se pohyboval v Česku kolem 1,6. Což se obecně vykládá tak, že jeden nakažený nakazil 1,6 dalšího člověka. Snad ještě názorněji to znamená, že počet nakažených by se měl přibližně 1,6krát zvýšit v pravidelných, zhruba pětidenních intervalech.Tedy právě onen exponenciální růst.

Výše jste si vyzkoušeli, jak rychlý je exponenciální růst s koeficientem dva. Dvojnásobení jde opravdu překvapivě rychle. Ale nemusí se opakovaně násobit zrovna dvojkou. Exponenciální růst popisuje libovolnou situaci, kdy je koeficient (kterým číslo opakovaně násobíme) vyšší než jedna.

Můžete si sami vyzkoušet, jak rychle v takovém případě i z nízké výchozí hodnoty mohou počty případů nákazy nemocných vyrůst.

Exponenciální růst s různými koeficienty
Vyzkoušejte si, jak různé koeficienty ovlivňují exponenciální růst:
Ze 100 při koeficientu 1,10 po 10 cyklech bude 259.
Součet všech 10 cyklů je 1 852.
Ze 100 při koeficientu 1,00 po 10 cyklech bude 100.
Součet všech 10 cyklů je 1 852.
Nejvyšší číslo obou řad se liší o , což je .
Rozdíl obou součtů je , což je .
Rozdíl koeficientů je přitom .
Toto není simulace nákazy. Slouží jen pro ilustraci exponenciálního růstu.

Zde si můžete vyzkoušet, že poměrně malá změna koeficientu se po větším počtu kroků projeví nečekaně razantně. Pokud se tedy například reprodukční číslo z hodnoty kolem 1,6 podaří snížit na 1,3, bude to mít na vývoj situace větší vliv, než bychom intuitivně čekali.

Můžete si to vyzkoušet: porovnejte v grafu obě hodnoty.

Exponenciální růst je neintuitivní i pro experty

Exponenciální růst je matematický pojem, a většina lidí jej od školy moc často nepoužije. Rok 2020 je ale výjimkou. Nakažlivé nemoci se totiž šíří způsobem, který popisuje právě exponenciální křivka. A tak se od března setkáváme s tímto termínem i ve veřejném prostoru. Ne vždy správně.

Například když média citovala Ladislava Duška, ředitele ÚZIS: „Minulý týden bylo reprodukční číslo 1,35 a to bylo lineární, nikoli exponenciální šíření.“ Nebo když Roman Prymula 9. září mluvil v ČRo o potřebě „zbrzdit ten nárůst, aby opravdu nešlo o exponenciální růst, ale jenom o lineární.“

Možná je to jen důsledek snahy o zjednodušení, ale obě tato vyjádření proti sobě staví exponeciální a lineární růst. Ve skutečnosti ovšem bude růst počtu nákaz vždy ze samotné podstaty věci exponenciální. Tak totiž infekce fungují. Šíří se decentralizovaně, z lidí na lidi. Takže i infekce, která se šíří pomalu, se ve skutečnosti šíří „exponenciálně“. Jen je její koeficient (reprodukční číslo) tak blízké číslu 1, že se nám může zdát růst lineární. A i epidemie, která ustupuje, pořád roste exponenciálně, jen je koeficient menší než 1.

Exponenciální růst záleží na chování lidí

Oba naše nástroje doufáme přiblížily, v čem spočívá exponenciální růst. Nejde ale o simulátor nebo predikci nákazy. Ta se totiž přeci jen chová jinak. Reprodukční číslo není napevno určené. Je výsledkem biologie viru, ale i chování lidí.

A lidé své chování v reakci na šíření viru mění a ještě určitě měnit budou. Náš interaktivní graf jednoduše „protahuje“ zvolený růst. V realitě to tak ale doufejme v Česku probíhat nebude. Na to máme příliš mnoho informací, především díky testování. V Lombardii v březnu 2020 to bylo jiné...

Nákaza nicméně o svou schopnost šířit se exponenciálně nepřijde. Exponenciální růst bude trvat, dokud bude mít virus dostatek vhodných cílů. To by se v průběhu příštího roku snad mělo změnit s příchodem vakcíny a případně i dalších nástrojů, například skutečně levných testů.

Cíl vlastně není daleko. Ale není ani tak blízko, aby nám exponenciální růst nemohl ještě několikrát předvést, co svede. Letošní září – a v jeho důsledku i říjen – by jako připomenutí snad mohly stačit.

Autoři:
  • Nejčtenější

Za celosvětový kolaps IT systémů může nečekaně absurdní chyba

Nepovedená aktualizace bezpečnostního softwaru společnosti Crowdstrike způsobila pád počítačů a serverů s operačním systémem Windows do „modré obrazovky smrti“. Ani po restartu se nespustí. Některé...

19. července 2024  11:01,  aktualizováno  18:52

OBRAZEM: Jugoslávské karavany byly zcela jiný level než ty z NDR, PLR a ČSSR

V roce 1965 se ve slovinském městě Novo Mesto začala psát historie továrně vyráběných jugoslávských a následně slovinských karavanů. Tak vznikla značka Adria, jejíž život se potom přenesl přes rozpad...

23. července 2024

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Mistr vedlejších rolí Krška hrál geniálně alkoholiky a muže zlomených osudů

Herec Vladimír Krška, který se narodil před 100 lety, byl téměř čtyři desítky let členem souboru pražského Divadla na Vinohradech. Na jeho scéně vytvořil na osmdesát rolí.

22. července 2024

Vyzkoušeli jsme 3D tiskárnu pro děti. Je to hračka, která tiskne hračky

Pod značkou Kidoodle míří na trh 3D tiskárna určená přímo pro děti. Spoustu hotových modelů připravených k tisku k ní výrobce přibalil, tisknout však můžete i vlastní výtvory. Má své mouchy, ale...

19. července 2024

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Jak dlouho budou naše stopy na Měsíci ještě patrné? 55 let od Apolla 11

O tom, jak důležitý okamžik nastal v oblasti vesmírného výzkumu před 55 lety, když člověk poprvé přistál na Měsíci, máme možnost se opakovaně přesvědčovat i v současnosti, kdy se ukazuje, že i s...

20. července 2024

OBRAZEM: Jugoslávské karavany byly zcela jiný level než ty z NDR, PLR a ČSSR

V roce 1965 se ve slovinském městě Novo Mesto začala psát historie továrně vyráběných jugoslávských a následně slovinských karavanů. Tak vznikla značka Adria, jejíž život se potom přenesl přes rozpad...

23. července 2024

NASA ruší projekt roveru, který měl hledat vodu na Měsíci

Už minulý rok měla na Měsíc vyrazit pojízdná laboratoř Viper, jejímž cílem mělo být hledání vody a ledu na naší přirozené oběžnici. Neustálé zdržování a růst nákladů vedly nakonec k tomu, že se celý...

22. července 2024  18:01

Mistr vedlejších rolí Krška hrál geniálně alkoholiky a muže zlomených osudů

Herec Vladimír Krška, který se narodil před 100 lety, byl téměř čtyři desítky let členem souboru pražského Divadla na Vinohradech. Na jeho scéně vytvořil na osmdesát rolí.

22. července 2024

Barbone. To jsou extrémně výkonné počítače pro gamery i revoluční PC s nano nástřikem

Advertorial

Stolní počítače si na trhu udržely své místo i přes masivní nástup levných notebooků. Mezi přední značky stolních počítačů na českém trhu patří značka Barbone od společnosti T.S.BOHEMIA, která letos...

22. července 2024

Single máme s miminkem ze spermabanky: Jak to funguje?
Single máme s miminkem ze spermabanky: Jak to funguje?

Zuzana Bergrová, bývalá vrcholová sportovkyně, si pro svého syna doběhla do spermobanky. O životě single mámy píše úspěšný blog „Plody dna: Příběhy...

Za celosvětový kolaps IT systémů může nečekaně absurdní chyba

Nepovedená aktualizace bezpečnostního softwaru společnosti Crowdstrike způsobila pád počítačů a serverů s operačním...

IT problémy způsobily kolaps bank i letišť. V Evropě i jinde ve světě

Řadu zemí v pátek zasáhly problémy s počítačovými systémy. Letiště kvůli výpadku čelila potížím s odbavováním letů,...

Rozvádím se, oznámila dubajská princezna na Instagramu manželovi a jeho milenkám

Dubajská princezna Mahra (30) a její manžel šejk Mana Bin Mohammed Al Maktúm (25) se po loňské svatbě rozvádí. Dcera...

Sto tun obilí za hodinu. Na Hané mají výjimečný kombajn, jeden z patnácti na světě

Až sto tun obilí dokáže za hodinu sklidit nový kombajn CR11 firmy New Holland, který vyjel do obilných lánů v okolí...

Piju každý den. Dřív nebo později se upiju k smrti, líčí bývalý fotbalista Fenin

Fotbalista Martin Fenin (37) neprožívá nejlepší období. Nejen, že mu nevyšlo manželství s policistkou Beatou, se kterou...